y=log₂(x+3)의 점근선이 x=3이 될 수 없는 이유
방학동에서 고2수학과외 학습을 진행하며 학교 프린트의 로그함수 문제를 확인하던 중, 학생의 답안에서 다음 줄이 발견되었다.
y=log₂(x+3)이므로 점근선은 x=3
학생은 괄호 안의 부호를 그래프의 이동 방향과 연결하지 않은 채, +3을 그대로 x=3으로 옮겼다. 그러나 점근선은 진수가 0이 되는 경계에서 결정된다.
x+3=0을 먼저 세워야 하는 로그함수
로그함수의 진수는 양수여야 하므로
x+3>0, 즉 x>-3이다.
진수가 0에 가까워지는 경계는
x+3=0 → x=-3
이므로 그래프의 수직점근선은 x=-3이다. 실제로 y=log₂x의 그래프를 왼쪽으로 3만큼 평행이동하면 y=log₂(x+3)이 되고, 원래 점근선 x=0도 왼쪽으로 이동하여 x=-3이 된다. 반대로 x=3은 y=log₂(x-3)의 점근선에 해당한다.
기호 하나가 이동 방향을 바꾸는 수정 기록
답안에는 다음 두 줄을 나란히 적게 했다.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
| x+3=0 → x=3 | x+3=0 → x=-3 |
달라진 기호는 이항 과정에서 생긴 마이너스 하나다. 계산 줄에서 이 기호를 표시한 뒤, 정의역 x>-3과 점근선 x=-3을 함께 기록하게 하면 그래프의 이동 방향을 식으로 확인할 수 있다.
항의 순서가 바뀌어도 진수의 경계를 찾는가
이후 식을 다음과 같이 제시했다.
y=log₃(5+x)
항의 순서가 바뀌었지만 진수는 5+x이므로
5+x=0 → x=-5
이다. 따라서 정의역은 x>-5, 수직점근선은 x=-5이다. 답안에서 진수에 0을 대입하는 식을 먼저 세우고, 그 결과의 부호와 그래프 이동 방향이 일치하는지 확인하면 평행이동 조건이 달라져도 같은 판단을 유지할 수 있다.
방학삼성래미안1단지와 방학동우성아파트 생활권에서 학교 프린트와 주간 학습 시간이 학생마다 다를 수 있는 만큼, 이 문제도 정답만 적기보다 점근선이 결정되는 계산 줄을 남기는 방식으로 확인했다. 도봉구 내 창동고등학교, 정의여자고등학교, 누원고등학교, 자운고등학교 등 참고 학교를 방학동 소재 학교로 단정하지 않고, 학생이 실제로 사용하는 자료의 식과 풀이 과정을 기준으로 점검하는 것이 적절하다.