방학동고1수학과외, 복소수 곱셈에서 i²를 실수항으로 바꾸는 계산
방학동의 서울문화고등학교 프린트를 복습하던 학생의 답안에는 다음과 같은 식이 남아 있었다.
(3+2i)(4-i)=12-3i+8i-2i²=12+5i-2i²
전개와 동류항 정리까지는 진행했지만, 마지막 답에 i²가 그대로 남았다. 이 문제에서 계산을 끝내려면 허수단위의 관계인 i²=-1을 적용해야 한다.
i²는 허수항이 아니라 실수값으로 바뀐다
복소수 곱셈에서는 먼저 각 항을 빠짐없이 곱한다.
(3+2i)(4-i)=3×4+3×(-i)+2i×4+2i×(-i)
따라서
12-3i+8i-2i²=12+5i-2i²
여기서 i²를 -1로 바꾸면 -2i²=-2(-1)=2이다. 그러므로 최종 결과는
12+5i+2=14+5i
실수 부분은 14, 허수 부분의 계수는 5가 된다. i²를 단순히 문자처럼 남겨 두면 실수 부분에 들어가야 할 2를 놓치게 된다.
오답표에 빠진 한 단계가 식의 끝을 결정한다
학생은 i²가 등장한 줄에서 별도 표시를 하지 않고 곧바로 답을 적었다. 이는 복소수 곱셈의 전개를 전혀 못한 경우라기보다, 전개 뒤에 반드시 실행해야 하는 변환을 계산 절차에 넣지 못한 상태다.
연습할 때는 i²가 보이는 즉시 그 위에 i²→-1을 적는다. 예를 들어
(2-3i)(5+2i)=10+4i-15i-6i²
에서 i²를 바꾸면
10-11i-6(-1)=16-11i
가 된다. 마지막에는 실수항끼리, i가 붙은 항끼리 다시 모아 16-11i로 정리한다.
방학 후 짧은 계산 시간에도 순서를 고정하기
방학삼성래미안1단지나 방학동우성아파트에서 귀가한 뒤 학교별 프린트와 교과서 문제를 번갈아 풀 때에는 긴 풀이보다 표시의 위치가 중요하다. 곱셈 전개가 끝난 줄에서 i²를 찾고, -1로 치환한 뒤 실수항과 허수항을 나누어 적으면 된다. 같은 도봉구의 창동고등학교, 정의여자고등학교, 누원고등학교, 자운고등학교는 참고 학교일 뿐 방학동 소재 학교로 구분해서 보아야 하며, 실제 학습 시간은 학교별 주간 일정에 따라 달라질 수 있다.
표현이 달라져도 실수 부분과 허수 부분을 읽는가
시간 제한을 둔 계산 세트에서는 바로 정답을 알려 주지 않고, 먼저 문제 묶음의 제목과 단위 또는 표기 기준을 읽게 한다. 복소수 결과를 정리한 목록이 다음과 같다고 하자.
- 제목: 복소수 곱셈 결과, 단위: 복소수
- (1+i)(3-2i) → 5+i
- (4-2i)(1+3i) → 10+10i
첫째 식은 3-2i+3i-2i²=3+i+2=5+i이고, 둘째 식은 4+12i-2i-6i²=4+10i+6=10+10i이다. 표의 모양이나 식의 표현이 달라도 학생이 ‘i²를 -1로 바꾼 뒤 전체와 부분, 즉 실수 부분과 허수 부분을 나눈다’는 같은 개념으로 묶어 처리하는지 기록한다.
특히 계산 시간이 줄어든 상황에서도 답만 고르지 않고, i²가 -1로 바뀐 흔적과 최종적으로 실수항·허수항을 정리한 흔적이 모두 있는지를 확인한다.