방학동고3수학과외

각의 구조를 읽고 미분식을 검산하는 고3 수학 학습

방학동에서 공부하는 이 학생은 tan 함수의 미분공식을 외우고도 각의 구조를 끝까지 확인하지 않아 오답을 만들었다. 방학동의 서울문화고등학교 학생 일정과 도봉구 내 창동고등학교, 정의여자고등학교, 누원고등학교, 자운고등학교 학생의 주간 학습 시간은 서로 다를 수 있으므로, 학교를 하나의 학군 성향으로 묶기보다 실제 풀이 과정을 기준으로 점검했다.

최초 오류는 tan의 바깥이 아니라 안쪽에서 발생했다

문제는 다음과 같다.

y = tan(2x)의 도함수 y'를 구하여라.

학생은 답안에 다음과 같이 적었다.

오답: y' = sec²(2x)

이 식은 tan u의 미분 결과 sec²u만 적용하고, u = 2x의 미분값을 곱하지 않았으므로 틀렸다. tan(2x)는 단순히 tan x의 형태가 아니라 바깥 함수 tan u와 안쪽 함수 u = 2x가 결합된 합성함수다.

정확한 전개는 다음과 같다.

u = 2x라 두면 y = tan u이다.

dy/du = sec²u, du/dx = 2

따라서

y' = sec²(2x) · 2 = 2sec²(2x)

학생이 기록해야 할 최초 오류 줄은 y' = sec²(2x)이다. 바로 이 줄에서 du/dx = 2가 빠졌다. 그 뒤의 계산을 이어 가는 것이 아니라, 각을 구성하는 안쪽 식의 미분을 먼저 확인해야 한다.

틀린 식과 바른 식을 좌우로 나누어 비교하기

• 틀린 식: tan(2x) → sec²(2x)
• 바른 식: tan(2x) → sec²(2x) × 2

부호가 바뀌는 지점을 확인하는 문제도 같은 방식으로 처리한다. 예를 들어 y = tan(-2x)이면 안쪽 미분값이 -2이므로

y' = sec²(-2x) × (-2) = -2sec²(-2x)

이다. sec²(-2x) 자체는 양수 형태로 남지만, 바깥에 곱해진 안쪽 미분값 -2 때문에 도함수의 부호가 음수가 된다. 학생은 오답 줄에 표시한 뒤 안쪽 각 → 안쪽 각의 미분 → 바깥 함수의 도함수 → 곱셈 순서로 식을 다시 쓴다.

역검산으로 빠진 계수 확인하기

y' = 2sec²(2x)가 맞는지 x = 0을 대입하면

y'(0) = 2sec²(0) = 2

이다. 함수 tan(2x)는 x가 0 근처에서 tan t에 t = 2x를 넣은 형태이므로, x의 변화가 두 배 빠르게 각의 변화로 전달된다. 따라서 기울기에 2가 포함되어야 하며, sec²(2x)만 남긴 오답은 이 변화율을 반영하지 못한다.

표현을 바꾼 독립 검증

같은 식을 반복하지 않고 다음 문제로 확인한다.

y = 3tan(5x)의 도함수를 구하여라.

바깥 계수 3, 안쪽 함수 5x를 각각 분리하면

y' = 3 · sec²(5x) · 5 = 15sec²(5x)

이다. 또 tan을 몫으로 바꾸면

y = 3sin(5x)/cos(5x)

이고, 몫의 미분을 적용한 뒤 sin²(5x) + cos²(5x) = 1을 사용하면 같은 결과인 15sec²(5x)를 얻는다. 공식의 모양이 달라져도 안쪽 각의 미분값 5와 앞의 계수 3을 모두 반영해야 한다.