도봉동고2수학과외

도봉동고2수학과외: 로그함수 평행이동에서 점근선과 정의역을 함께 읽기

도봉동에서 누원고등학교 시험 범위와 수행평가 준비를 함께 진행하다 보면, 로그함수의 식을 변형하는 계산은 맞혔지만 그래프의 위치를 잘못 표시하는 경우가 나타난다. 특히 평일 귀가 시간이 늦은 날에는 풀이 여백에 정의역과 점근선을 적지 않고 곧바로 좌표를 계산하면서 오류가 남기 쉽다.

y=log₂(x+3)의 점근선은 왜 x=−3인가

기준 함수

y=log₂x

에서 진수 x가 양수여야 하므로 정의역은 x>0이고, x가 0의 오른쪽에서 가까워질 때 그래프는 직선 x=0에 가까워진다. 따라서 점근선은 x=0이다.

이제 x 대신 x+3을 넣으면

x+3>0  →  x>−3

이 된다. 즉 그래프는 왼쪽으로 3만큼 이동하며 점근선도

x=0  →  x=−3

으로 이동한다.

그런데 풀이 여백에 y=log₂(x+3)의 점근선을 x=3이라고 적었다면, 이는 x좌표의 이동 방향을 반대로 읽은 것이다. x=3에서는 진수가 6이므로 함수가 정의되며, 점근선이 될 수 없다. 처음 어긋난 기호인 ‘+3’에 표시한 뒤 다음 중간식을 바로 이어 쓴다.

x+3>0 → x>−3 → 점근선 x=−3

식의 이동과 그래프의 이동을 한 번에 확인하기

문제에서

f(x)=log₂x

를 오른쪽으로 2, 위로 1만큼 평행이동한 함수를 구하라고 하면, x방향 이동은 입력에 반대로 적용된다.

y=f(x−2)+1=log₂(x−2)+1

이때 정의역은

x−2>0  →  x>2

이고 점근선은 x=2이다. 기준 그래프의 점 (1, 0)은 이동 후 (3, 1)이 된다. 실제로 대입하면

log₂(3−2)+1=log₂1+1=1

이므로 식과 그래프의 이동이 일치한다.

반대로

g(x)=log₂(x+3)−2

에서는 정의역 x>−3, 점근선 x=−3, 아래쪽 이동량은 −2이다. 기준점 (1, 0)은 (−2, −2)로 이동한다.

문자 매개변수로 바꾸어도 같은 기준을 적용하기

일반적인 함수

h(x)=log_a(x−p)+q

를 생각하자. 로그함수가 실수 범위에서 정의되려면

a>0, a≠1, x−p>0

이어야 한다. 따라서

정의역: x>p
점근선: x=p

이다. 여기서 q는 그래프를 위아래로 이동시키지만 정의역과 수직 점근선의 위치에는 영향을 주지 않는다. 풀이할 때는 식 옆에 먼저 x−p>0을 적고, 그 결과의 경계값 x=p를 점근선으로 옮겨 쓰는 순서를 유지한다.

새로운 매개변수에서 방향을 바꾸지 않는지 확인하기

검증 문제로

k(x)=log_1/3(x−r)+s

를 제시한다. 밑이 1/3이므로 밑 조건

0<1/3<1

을 확인할 수 있지만, 현재 판단에서 먼저 필요한 것은 진수 조건이다.

x−r>0  →  x>r

따라서 정의역은 x>r, 점근선은 x=r이다. 밑이 1보다 작은 것은 증가·감소에 영향을 주지만 점근선의 위치를 바꾸지는 않는다. 수치를 외운 것이 아니라 진수의 경계값을 찾아 점근선으로 연결했는지, 처음부터 식 옆에 조건을 남겼는지를 이 문제에서 확인한다.