도봉동고1수학과외, 복소수 덧셈에서 실수부와 허수부 나누기
도봉역 인근에서 학교 수업과 귀가 후 학습을 이어가는 고1 학생에게 복소수 덧셈은 계산 자체보다 항을 구분하는 기준이 중요하다. 누원고등학교 학교 프린트에서 다음 식을 풀 때도 먼저 실수 부분과 허수 부분을 나누어 보는 습관이 필요하다.
(4+3i)+(-7+5i)
정확한 정리는 실수끼리, 허수끼리 묶는 것이다.
(4-7)+(3i+5i)=-3+8i
계산을 바로 시작하면서 사라진 구분
학생의 답안에는 위 식을 옮겨 적은 뒤 실수부와 허수부를 나누었다는 표시가 없었다. 괄호를 한꺼번에 없애고 숫자만 이어서 계산하다가 -3+8i를 얻었지만, 어떤 항끼리 더했는지 풀이 과정에 남기지 않았다. 답이 우연히 맞더라도 이 상태에서는 계수와 허수 단위를 구분하는 판단이 안정되었다고 보기 어렵다.
복소수는 보통 a+bi 꼴로 나타내며, 여기서 a는 실수부, bi는 허수부이다. 따라서 (a+bi)+(c+di)는
(a+c)+(b+d)i
가 된다. 3과 5i는 숫자가 모두 있다는 이유로 같은 종류가 아니다. 3에는 i가 없고, 5i에는 i가 있으므로 각각 실수 부분과 허수 부분에서만 결합한다.
한 줄 기준을 풀이에 넣는 방법
풀이를 시작하기 전에 답안 여백에 ‘실수끼리, 허수끼리’라고 적는다. 이어서 식을 두 묶음으로 배치한다.
(6-2i)+(9+11i)=(6+9)+(-2i+11i)=15+9i
이 과정에서 허수부의 계수는 -2와 11이고, 허수 단위 i는 그대로 유지된다. 계산을 마친 뒤에도 같은 문구를 다시 확인하고, 실수부가 15인지 허수부가 9i인지 대조한다. 오답을 수정할 때도 결과만 덧쓰지 않고, 틀린 줄 옆에 ‘실수 부분과 허수 부분을 섞어 계산함’처럼 실제 판단의 누락을 기록한다.
부호가 달라져도 기준은 변하지 않는다
예를 들어 다음과 같이 괄호 앞에 음수가 붙은 식에서는 부호를 먼저 반영해야 한다.
(-3+4i)-(5-7i)=(-3+4i)+(-5+7i)
따라서
(-3-5)+(4i+7i)=-8+11i
이다. 학생이 실수부를 -3+5로 계산했다면, 두 번째 괄호 전체에 -1을 곱하지 않은 것이 오류다. 이때도 ‘실수끼리, 허수끼리’라는 분류와 함께 괄호 안 각 항의 부호가 바뀌었는지 확인해야 한다.
도봉동의 학습 시간에 맞춘 짧은 점검
학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 복소수 문제를 많이 풀기보다 한 문제의 풀이 흔적을 점검하는 방식이 효율적이다. 도봉동에서 귀가한 뒤 복습 시간이 짧다면 학교 프린트의 복소수 덧셈 한 문제를 골라 기준 문구를 풀이 전과 풀이 후에 각각 남긴다. 같은 실수의 원인을 기록하는 데 1분을 따로 배정하면, 결과만 고치는 습관과 판단을 생략하는 습관을 구별할 수 있다.
숫자 모양이 바뀐 변형식으로 확인하기
복습 마지막에는 기억하고 있던 예제의 숫자를 바꾼 다음 식을 사용한다.
(2x-5yi)+(8x+3yi)
이 식의 동류항 기준은 숫자의 모양이 아니라 문자 부분이다. x가 붙은 항끼리, yi가 붙은 항끼리 묶으므로
(2x+8x)+(-5yi+3yi)=10x-2yi
가 된다. 학생이 “2와 8, -5와 3을 묶었다”고만 설명한다면 기준이 수의 위치에 머문 것이다. “문자 부분이 같은 x항과 yi항을 각각 묶었다”고 말하고, 풀이 전후에 해당 확인을 스스로 기록했을 때 새로운 조건에서도 적용한 것으로 본다.
마지막으로 학생이 정답을 맞힌 즉시 끝내지 않고, 기준 문구 기록과 문자 부분 설명까지 확인했는지 스스로 점검한다. 두 행동이 모두 이루어진 시점을 복습 종료 시점으로 직접 정하게 하면 같은 유형을 기계적으로 반복하지 않고 자신의 적용 여부를 판단할 수 있다.