도봉동 고3 수학과외에서 확인한 tan 함수 미분 오답
도봉동에서 누원고등학교 내신과 수능 수학을 함께 준비하는 학생이 평일 귀가 시간과 시험 범위를 조정하며 미분 문제를 풀던 중, 문제를 읽자마자 \((\tan x)'=\tan^2x\)라고 적었다. 처음에는 기호 하나의 실수처럼 보였지만, 삼각함수의 구조와 각의 단위를 확인하지 않고 공식을 떠올린 것이 핵심 원인이었다.
주기와 각의 단위를 먼저 고정하기
미분 공식은 각 \(x\)를 라디안으로 측정할 때 다음과 같이 성립한다.
\[ (\tan x)'=\sec^2x=\frac{1}{\cos^2x} \]
학생의 식 \((\tan x)'=\tan^2x\)는 틀린 식이다. \(\tan^2x\)는 \(\tan x\)의 제곱일 뿐이며, \(\tan x\)의 변화율을 나타내지 않는다. 또 \(\frac{1}{\tan^2x}\) 역시 올바른 미분 결과가 아니다. \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)로 놓으면 몫의 미분에 의해
\[ (\tan x)'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x} =\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x} =\frac{1}{\cos^2x} \]
가 된다. 따라서 분모는 \(\tan x\)가 아니라 \(\cos x\)이며, 분자는 삼각함수의 기본 관계로 \(1\)이 된다.
틀린 줄을 표시하고 함수 구조를 다시 확인한 과정
- 틀린 줄 표시: \((\tan x)'=\tan^2x\)
- 조건 확인: \(x\)는 라디안이고, \(\tan x\)는 \(\cos x=0\)인 지점에서 정의되지 않는다.
- 변수 관계 확인: \(\tan x=\sin x/\cos x\)이므로 분모의 \(\cos x\) 변화까지 반영해야 한다.
- 식 수정: \((\tan x)'=\sec^2x=1/\cos^2x\)
예를 들어 \(x=\frac{\pi}{4}\)에서 실제 미분값은
\[ (\tan x)'\bigg|_{x=\pi/4} =\frac{1}{\cos^2(\pi/4)} =\frac{1}{( \sqrt2/2)^2}=2 \]
이다. 반면 잘못된 식 \(\tan^2(\pi/4)\)는 \(1\)이므로 두 결과가 다르다. 학생은 이 대입 검산으로 단순한 기호 수정이 아니라 공식 자체를 다시 확인했다. 또한 \(\tan x\)의 주기는 \(\pi\)이고, 미분한 \(\sec^2x\)도 주기가 \(\pi\)이므로 함수의 주기 관계가 유지되는지 그래프로 확인했다. 단, \(\cos x=0\), 즉 \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)에서는 원래 함수와 도함수 모두 정의되지 않는다.
계수를 바꾼 새 문제로 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 다음 문제를 제시했다.
\[ f(x)=3\tan(2x-\frac{\pi}{6})-4x \]일 때 \(f'(\frac{\pi}{3})\)을 구하여라.
합성함수의 안쪽 미분을 빠뜨리지 않으면
\[ f'(x)=3\sec^2(2x-\frac{\pi}{6})\cdot2-4 =6\sec^2(2x-\frac{\pi}{6})-4 \]
이다. \(x=\frac{\pi}{3}\)을 대입하면 \(2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)가 되어 \(\cos\frac{\pi}{2}=0\)이다. 따라서 이 함수는 해당 점에서 정의되지 않으며 \(f'(\frac{\pi}{3})\)도 존재하지 않는다. 학생은 계수와 내부 각을 바꾼 문제에서 무조건 \(\sec^2\)를 대입하지 않고, 먼저 함수가 정의되는지 확인해 답을 완성했다.
누원고등학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 놓고 학습할 때도 이런 식으로 공식 암기보다 정의역, 각의 단위, 주기, 내부 함수의 관계를 먼저 점검하도록 정리했다. 같은 도봉구의 창동고등학교, 정의여자고등학교, 서울문화고등학교, 자운고등학교는 참고 학교로 구분하여, 학교별 일정은 실제 확인된 범위 안에서만 계획에 반영했다.