덕양구 고2수학과외｜삼각함수 관계식에서 부호를 놓치지 않는 풀이
화수고, 백양고, 신원고, 성사고, 능곡고, 도래울고 등 학교와 푸른마을·원흥동·화정동·삼송동·지축동의 생활권은 서로 달라 귀가 뒤 확보되는 공부 시간이 같지 않다. 그래서 짧은 풀이에서도 계산 결과보다 어떤 근거를 남겼는지가 중요하다.
sin²θ+cos²θ 다음에 부호를 써야 하는 이유
문제에서 θ가 제2사분면이고 sinθ=3/5일 때 cosθ와 tanθ를 구하라고 하자.
먼저 삼각함수 사이의 관계를 적용하면
sin²θ+cos²θ=1
(3/5)²+cos²θ=1
cos²θ=16/25
cosθ=±4/5
여기서 제2사분면에서는 cosθ가 음수이므로
cosθ=-4/5
라는 부호 판단을 반드시 거쳐야 한다. 이어서 탄젠트의 정의를 사용하면
tanθ=sinθ/cosθ=(3/5)/(-4/5)=-3/4
이다. 제곱식만 계산하고 부호가 결정되는 줄을 건너뛰면 cosθ=4/5, tanθ=3/4로 잘못 이어진다. 이 오류는 계산 능력보다 사분면과 관계식의 연결을 답안에 남기지 않은 데서 생긴다.
cosθ=0인 경우에는 tanθ를 나눌 수 없다
여백에 “tanθ=sinθ/cosθ”라고 적은 뒤 cosθ가 0일 가능성을 확인하지 않고 항상 나누는 경우도 있다. 예를 들어 θ=π/2이면
sinθ=1, cosθ=0
이므로 sinθ/cosθ는 정의되지 않는다. 따라서 tan(π/2)는 존재하지 않는다. 탄젠트의 관계식은 cosθ≠0일 때 사용할 수 있다는 조건이 함께 붙는다.
풀이 중 잘못된 줄을 발견했을 때는 답 전체를 지우기보다 “제곱근 뒤 부호 판단을 생략함” 또는 “cosθ=0 가능성을 확인하지 않고 나눔”처럼 원인을 한 문장으로 적는다. 그다음 해당 줄만 고쳐 사분면의 부호와 나눗셈 가능 여부를 다시 확인한다.
조건을 바꾼 확인 문제
이번에는 θ가 제3사분면이고 cosθ=-5/13일 때 sinθ와 tanθ를 구하라는 문제로 판단을 바꿔 본다.
sin²θ+cos²θ=1에서
sin²θ+25/169=1
sin²θ=144/169
sinθ=±12/13
제3사분면에서는 sinθ가 음수이므로
sinθ=-12/13
이다. 또한 cosθ=-5/13은 0이 아니므로 탄젠트를 계산할 수 있다.
tanθ=sinθ/cosθ=(-12/13)/(-5/13)=12/5
마지막으로 sinθ와 cosθ가 모두 음수인 제3사분면에서 tanθ가 양수라는 점까지 대조한다. 풀이 시간 제한 없이 이 문제를 처음 보았을 때 사분면의 부호, 제곱근의 ±, cosθ의 0 여부를 스스로 적었다면 삼각함수 관계식의 계산 줄이 근거와 함께 연결된 것이다.