덕양구고1수학과외: 선택 불가 조건이 생길 때 경우의 수 다시 세기
화수고·백양고·신원고 등 덕양구의 학교와 푸른마을3단지, 푸른마을10단지 같은 주거지 사이의 이동 시간은 학생마다 다르다. 귀가 뒤 확보한 짧은 시간에 경우의 수 문제를 풀 때도, 숫자를 빠르게 계산하는 것보다 각 단계에서 실제로 선택 가능한 수가 몇 개인지 기록하는 과정이 먼저다.
계산을 시작하기 전에 선택 대상을 분리하기
예를 들어 상의 4벌과 하의 3벌 중 하나씩 골라 옷차림을 만드는 문제에서 검은색 상의 1벌은 특정 하의와 함께 입을 수 없다고 하자. 조건을 읽지 않고 4×3=12라고 계산하면 불가능한 조합까지 포함된다.
검은색 상의를 골랐을 때 하의는 2가지뿐이므로 경우를 나누면 다음과 같다.
- 검은색 상의를 선택하는 경우: 1×2=2
- 나머지 상의 3벌을 선택하는 경우: 3×3=9
따라서 전체 경우의 수는 2+9=11이다. 선택할 수 없는 조건이 중간에 등장했으므로, 처음의 3이라는 하의 선택 수를 모든 상의에 그대로 곱해서는 안 된다.
답안에 빠진 한 줄이 오답을 만든 장면
관찰한 답안에는 “상의 4가지, 하의 3가지이므로 12가지”라고 적혀 있었다. 문제의 제한 조건을 읽지 않은 채 숫자부터 곱했고, 다음 줄로 넘어가기 전 선택 불가 조합을 다시 계산한 흔적도 없었다. 이 상태는 곱셈 원리를 전혀 모르는 경우라기보다, 단계별 선택 수가 조건에 따라 달라지는 순간을 아직 안정적으로 처리하지 못하는 상태에 가깝다.
어떤 대상을 먼저 골랐을 때 다음 단계의 선택 수가 달라지는가? 달라진다면 같은 수를 계속 곱하지 말고 경우를 나누어 합한다.
불가능한 선택이 생긴 위치를 말로 고정하기
훈련에서는 계산식보다 먼저 “검은색 상의를 고르면 하의는 2가지로 줄어든다”라고 설명하게 했다. 그 뒤에 1×2+3×3=11을 쓰게 하고, 12에서 제외된 조합이 검은색 상의와 함께 입을 수 없는 하의 1가지라는 점도 덧붙였다.
같은 판단은 표로도 확인할 수 있다. 검은색 상의 행의 가능한 하의 수는 2, 나머지 세 행의 가능한 하의 수는 각각 3이므로 행별 합은 2+3+3+3=11이다. 선택 불가 조건을 발견한 뒤 단계별 수를 다시 세었다는 근거가 답안에 남는다.
푸른마을에서 학교까지의 짧은 학습 시간에 남길 기록
원흥동·삼송동·화정동처럼 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 시간이 다른 만큼, 긴 풀이 노트보다 조건이 바뀐 지점을 한 줄로 남기는 연습이 효율적이다. 예를 들어 “첫 선택이 검은색이면 둘째 선택 2, 아니면 3”처럼 각 단계의 수를 조건과 연결해 적는다. 다음 문제에서 이 문장을 말하지 못하고 바로 곱셈을 시작하면, 재현에 실패한 문제만 따로 표시해 같은 확인 절차를 유지한다.
면 배치를 바꾼 전개도에서 다시 확인하기
검증 문제에서는 정육면체 전개도의 면 배치를 바꾸고, 표시된 면과 마주 보는 면을 찾게 한다. 먼저 필요한 초등 개념인 “정육면체에서 한 면과 마주 보는 면은 한 면뿐”이라는 관계를 복구한 뒤, 전개도를 접었을 때 실제로 선택 가능한 면의 수를 단계별로 세게 한다.
예를 들어 한 전개도에서 기준 면을 정한 뒤 마주 보는 면을 고르는 문제라면 기준 면마다 가능한 상대 면은 1개다. 답만 고르는 것이 아니라 “기준 면을 정하면 맞은편 면은 하나로 정해져 더 이상 선택할 수 없다”라고 설명해야 한다. 면의 배치가 달라진 새 문제에서도 불가능한 선택이 생긴 순간 다음 단계의 수를 다시 계산하고, 별도의 풀이 도움 없이 중1 문제를 처음부터 진행하는지 확인한다.