덕양구고3수학과외

덕양구 고3 수학과외: 부분적분 정적분에서 첫 오류 찾기

화수고등학교, 백양고등학교, 신원고등학교, 성사고등학교, 능곡고등학교, 도래울고등학교 등이 있는 덕양구에서는 학교와 주거지 거리에 따라 자습 시간이 달라질 수 있다. 원흥동·화정동·삼송동·지축동처럼 생활권이 다른 만큼, 짧은 시간에도 풀이 과정을 다시 검산하는 습관이 중요하다.

마지막 부호만 고친 답안의 문제

학생은 다음 정적분을 부분적분으로 풀었다.

∫₀¹ x ln(1+x) dx

u=ln(1+x), dv=x dx로 두면 du=1/(1+x) dx, v=x²/2이므로

∫₀¹ x ln(1+x) dx = [x²/2·ln(1+x)]₀¹ − 1/2∫₀¹ x²/(1+x) dx

여기서 x²/(1+x)=x−1+1/(1+x)이므로

∫₀¹ x²/(1+x) dx = [x²/2−x+ln(1+x)]₀¹ = ln2−1/2

따라서 정답은

1/2 ln2−1/2(ln2−1/2)=1/4이다.

학생의 오답: 1/2 ln2 + 1/2(ln2−1/2)=ln2−1/4

이 식은 부분적분 공식의 뺄셈을 덧셈으로 바꾼 오답이다. 앞부분의 원시함수와 구간 대입은 맞았지만, 뒤의 적분항에 붙는 마이너스를 마지막에만 바꾸어서는 안 된다. 또한 정적분의 결과에는 부정적분의 임의상수 +C를 붙이지 않는다.

틀린 줄부터 조건을 다시 확인하는 과정

• 표시: [uv]₀¹−∫vdu에서 두 번째 항의 부호에 밑줄을 긋는다.
• 관계 확인: dv=x dx이면 v=x²/2이고, du=1/(1+x)dx임을 다시 적는다.
• 식 수정: 1/2 ln2 + 1/2(ln2−1/2)를 1/2 ln2−1/2(ln2−1/2)로 고친다.
• 대입 검산: 원시함수 F(x)=x²/2·ln(1+x)−1/2(x²/2−x+ln(1+x))를 만들고 F(1)−F(0)=1/4인지 확인한다.
• 부호 검산: 구간 [0,1]에서 x ln(1+x)≥0이므로 결과가 음수가 될 수 없는지도 확인한다.

조건을 바꾼 독립 검증

이번에는 대칭 구간이 아닌 새로운 문제로 확인한다.

∫₀² x ln(x+2) dx

같은 방식으로 계산하면

∫₀² x ln(x+2) dx = [x²/2·ln(x+2)]₀² −1/2∫₀² x²/(x+2)dx

x²/(x+2)=x−2+4/(x+2)이므로

∫₀² x²/(x+2)dx=−2+4ln2

따라서 전체 값은 4ln2−1/2(−2+4ln2)=1이다. 이때도 +C를 붙이지 않고, 부분적분의 두 번째 항을 반드시 뺄셈으로 유지해야 한다.