화정동고2수학과외에서 확인한 특수각 판단의 빈틈
화정고등학교와 화수고등학교처럼 화정동 안의 학교에 다니더라도 통학 거리와 귀가 시각에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 그러나 삼각함수 문제에서는 학습 시간보다 한 각의 위치를 어떻게 판단했는지가 답을 좌우한다.
sin(5π/6)을 외운 값으로 처리한 풀이
다음 식을 계산한다고 하자.
2sin(5π/6) - 3cos(2π/3)
풀이 과정에서 학생은 sin(5π/6)=sin(π/6)=1/2라고 적은 뒤, cos(2π/3)의 부호를 확인하지 않고 계산을 멈추거나 양수로 처리했다. 결과를 1 - 3/2 = -1/2로 적었다면 오류는 cos의 사분면 판단에서 발생한 것이다.
5π/6은 제2사분면이므로 사인은 양수이고, 2π/3도 제2사분면이므로 코사인은 음수이다. 단위원에서
sin(5π/6)=1/2, cos(2π/3)=-1/2
이다. 따라서
2×1/2 - 3×(-1/2) = 1 + 3/2 = 5/2
가 정확한 값이다. sin(5π/6)과 sin(π/6)의 값이 같은 이유도 단순 암기가 아니라 두 각의 y좌표가 같기 때문이다.
계수보다 먼저 단위원의 좌표를 적기
변형문제를 풀 때는 계산 전에 다음 세 칸을 네모로 표시한다.
□ 라디안인가 □ 몇 사분면인가 □ sin·cos의 부호는 무엇인가
예를 들어
-4sin(7π/6) + 2cos(5π/3)
에서는 7π/6이 제3사분면, 5π/3이 제4사분면이다. 그러므로
sin(7π/6)=-1/2, cos(5π/3)=1/2
를 먼저 적고,
-4×(-1/2)+2×1/2=2+1=3
으로 이어 간다. 계수와 부호가 바뀌어도 단위원의 좌표를 먼저 정하면 기존 특수각 표를 기계적으로 옮기는 실수를 줄일 수 있다.
시작각이 바뀐 식에서 좌표를 다시 세우는지 확인
마지막으로 다음 식을 별도의 풀이로 계산한다.
3cos(11π/6) - 2sin(4π/3)
11π/6은 제4사분면이므로 cos는 양수이고, 4π/3은 제3사분면이므로 sin은 음수이다.
cos(11π/6)=√3/2, sin(4π/3)=-√3/2
따라서
3√3/2 - 2×(-√3/2) = 5√3/2
이다. 이 문제에서 각의 사분면, 함수의 부호, 계수 반영을 순서대로 남겼다면 특수각의 값을 새로운 조건에 맞게 적용한 것으로 판단할 수 있다.