화정동 고3 수학과외에서 다룬 정적분의 대칭 조건
화정동의 화정고등학교와 화수고등학교 학생을 지도할 때는 같은 지역에 살아도 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이를 정리하는 방식이 달라질 수 있다. 수업 전 풀이 시간이 짧은 학생은 답만 고르기보다 구간과 함수의 관계를 먼저 표시하는 습관을 우선 점검했다. 같은 덕양구의 백양고등학교, 신원고등학교, 성사고등학교 학생과도 생활 리듬은 다를 수 있으므로, 여기서는 한 학생의 실제 정적분 오답을 중심으로 확인했다.
대칭식을 쓰기 전에 확인해야 할 것
학생은 다음 적분을 풀며 절댓값 함수의 대칭성을 적용했다.
문제: \(f(x)=|x^2-4|\)일 때
\[ I=\int_{-3}^{3}|x^2-4|\,dx \]
학생의 풀이에는 다음과 같은 줄이 있었다.
\[ f(-x)=f(x)\quad\therefore\quad I=2\int_{0}^{3}(x^2-4)\,dx \]
이 식은 오답이다. \(f(x)=|x^2-4|\)는 짝함수이므로 구간을 절반으로 줄이는 것은 맞지만, \(0\le x\le3\)에서 \(x^2-4\)의 부호가 일정하지 않다. \(x=2\)에서 부호가 바뀌므로 절댓값을 제거하려면 구간을 나누어야 한다.
틀린 줄을 표시하고 식을 다시 세우기
학생은 오답 줄의 \(x^2-4\) 부분에 표시한 뒤, 먼저 영점을 확인했다.
\[ x^2-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=2,-2 \]
따라서 \(0\le x\le2\)에서는 \(x^2-4\le0\), \(2\le x\le3\)에서는 \(x^2-4\ge0\)이다. 올바른 식은
\[ \begin{aligned} I &=2\left(\int_{0}^{2}(4-x^2)\,dx+\int_{2}^{3}(x^2-4)\,dx\right)\\ &=2\left(\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} +\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_{2}^{3}\right)\\ &=2\left(\frac{16}{3}+\frac{5}{3}\right) =14 \end{aligned} \]
학생은 계산 뒤 그래프의 넓이와도 비교했다. \([-2,2]\)에서는 그래프가 \(x\)축 아래에 있으므로 적분식 안에서 \(4-x^2\)로 바꾸어야 하고, 양 끝 구간에서는 \(x^2-4\)가 되어야 한다. 실제로
\[ \int_{-3}^{3}|x^2-4|\,dx =2\left(\frac{16}{3}+\frac{5}{3}\right)=14 \]
이며, 단순히 부호를 무시한 계산은
\[ 2\int_{0}^{3}(x^2-4)\,dx =2\left(9-12\right)=-6 \]
이 되어 넓이가 음수가 되는 점에서도 오류를 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 구간과 영점을 바꾸어 다음 문제를 추가했다.
검증 문제: \(g(x)=|x^2-9|\)일 때
\[ J=\int_{-2}^{4}|x^2-9|\,dx \]
이번에는 구간이 \([-2,4]\)이므로 \([-a,a]\) 꼴이 아니다. 따라서 \(2\int_0^4\)로 바꾸는 대칭공식을 적용할 수 없다. 영점 \(x=3,-3\) 중 현재 구간에 포함되는 것은 \(x=3\)뿐이므로
\[ \begin{aligned} J &=\int_{-2}^{3}(9-x^2)\,dx+\int_{3}^{4}(x^2-9)\,dx\\ &=\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{3} +\left[\frac{x^3}{3}-9x\right]_{3}^{4}\\ &=\frac{98}{3}+\frac{10}{3} =36 \end{aligned} \]
으로 계산한다. 학생은 마지막에 구간의 대칭 여부, 절댓값 내부의 영점, 각 구간의 부호를 차례로 확인했다. 이 과정을 통해 답보다 먼저 대칭을 사용할 자격이 있는지와 부호가 바뀌는 위치가 어디인지를 검토하도록 수정했다.