화정동고1수학과외, 순서가 달라도 같은 경우로 세는 조합 판단
화정고등학교와 화수고등학교가 있는 화정동에서는 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 귀가 후 확보되는 학습 시간이 달라질 수 있다. 짧은 시간에 경우의 수 문제를 풀 때는 공식을 먼저 떠올리기보다, 무엇을 하나의 결과로 볼 것인지부터 정해야 한다.
ABC와 ACB를 따로 세면 생기는 오류
정육각형의 꼭짓점 6개 중 3개를 골라 삼각형을 만드는 문제를 살펴보자. 세 꼭짓점은 어떤 순서로 적어도 같은 삼각형이다. 따라서 구하는 경우의 수는
₆C₃ = (6×5×4)/(3×2×1) = 20
이다. 그런데 답안에는 첫 번째 꼭짓점을 고른 뒤 두 번째, 세 번째를 배열하여 6×5×4=120이라고 적혀 있었다. 이 계산은 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA를 서로 다른 결과로 센다. 실제 도형에서는 모두 같은 삼각형이므로 각 삼각형이 3!번씩 중복되었다.
순서를 바꾸어도 도형이 그대로라면 배열이 아니라 선택으로 세어야 한다.
세는 대상부터 도형과 연결하기
이 문제에서 결과는 ‘꼭짓점의 나열’이 아니라 ‘선택된 세 꼭짓점이 만드는 삼각형’이다. 첫 번째, 두 번째, 세 번째를 구분해야 하는 조건이 없으므로 순서는 의미가 없다. 곱셈으로 세고 싶다면 120을 구한 뒤 같은 선택이 6가지 순서로 나타났음을 확인하여
120÷6=20
으로 고칠 수도 있다. 조합식은 이 중복 제거를 계산에 포함한 표현이다.
답안에서 빠진 표시를 찾아 다시 쓰기
이 학생의 풀이에는 중복되는 순서를 확인한 흔적이 없고, 120을 적은 뒤 곧바로 다음 계산으로 넘어갔다. 수정할 때는 오답 전체를 지우기보다 ‘세 꼭짓점의 순서가 달라도 같은 삼각형’이라는 판단이 빠진 위치에 표시한다.
그 줄부터 다음처럼 다시 쓴다.
- 선택 대상: 정육각형의 6개 꼭짓점
- 완성되는 도형: 꼭짓점 3개로 만든 삼각형
- 순서의 의미: 없음
- 계산: ₆C₃=20
이렇게 구한 뒤 ABC와 ACB를 직접 비교해 같은 도형임을 확인하면, 공식 암기가 아니라 중복을 제거하는 수학적 행동이 드러난다.
형식이 달라져도 조건을 먼저 읽는지 확인하기
학교 프린트와 표현이 다른 문제집에서 다음 문항을 제시한다.
한 직선 위에 놓인 점이 5개이고, 그 직선 밖에 점이 4개 있다. 이 9개 점 중 3개를 골라 삼각형을 만들 때 가능한 삼각형의 개수를 구하여라.
먼저 도형과 조건을 연결하면, 9개 중 3개를 고르는 전체 경우는 ₉C₃=84이다. 다만 직선 위의 점 5개에서 3개를 고르면 삼각형이 되지 않으므로 ₅C₃=10을 제외한다.
84-10=74
이때도 점을 고르는 순서는 결과에 영향을 주지 않는다. 학생이 74라는 답만 적는 것이 아니라, ‘전체에서 일직선 위 세 점을 고른 경우를 제외한다’고 먼저 표시하는지 확인한다.
미완료 항목을 남겨 두는 기준
화정동에서 학교와 집 사이 이동이 짧은 학생은 풀이 직후 조건 표시까지 확인할 수 있고, 이동 시간이 긴 학생은 그날 푼 문항 중 중복 제거 표시가 없는 것만 따로 남겨 이어서 점검할 수 있다. 같은 정육각형 문제를 다시 맞힌 것보다, 새로운 도형 조건에서 ‘무엇을 고르는가’와 ‘순서가 결과를 바꾸는가’를 먼저 연결했는지가 판단 기준이다.
이 표시가 형식이 달라진 문제에서도 반복되지 않으면 해당 학습 항목은 아직 끝난 것으로 보지 않는다. 반대로 새 문제에서 전체 경우와 제외할 경우를 스스로 나누고, 순서가 같은 도형을 한 번만 세었다면 미완료 목록에서 해당 항목을 종료한다.