행신동고2수학과외: tan 그래프에서 주기와 점근선을 먼저 판별하는 연습
행신고등학교, 백양고등학교, 서정고등학교, 무원고등학교가 있는 행신동에서는 통학과 과제 시간이 함께 늘어나면서 풀이 과정을 짧게 정리하는 습관이 중요하다. 특히 삼각함수 그래프는 식을 보자마자 그리는 것이 아니라, 정의되지 않는 각과 반복되는 길이를 먼저 판단해야 한다.
x=π/2는 지나가는 점이 아니라 점근선이다
기본 함수 y=tan x에서 탄젠트는
tan x = sin x / cos x
이므로 cos x=0인 곳에서는 정의되지 않는다. 따라서
x=π/2+kπ (k∈ℤ)
가 수직점근선이다. 주기는
tan(x+π)=tan x
에서 확인되므로 π이다. 오답표에 x=π/2를 지나는 것처럼 그래프를 연결했다면, 그 선을 통과하는 것이 아니라 양쪽에서 값이 무한히 커지거나 작아지는 경계라고 고쳐야 한다.
변형된 식에서는 괄호 전체를 기준으로 계산하기
예를 들어
y=tan(2x-π/3)+1
을 보자. 탄젠트의 주기는 내부식의 계수에 따라
2Δx=π → Δx=π/2
가 된다. 점근선은 내부 각이 π/2+kπ가 되는 지점이므로
2x-π/3=π/2+kπ
2x=5π/6+kπ
x=5π/12+kπ/2
이다. +1은 그래프를 위로 1만큼 이동시키지만 점근선의 위치에는 영향을 주지 않는다. 또한 탄젠트에는 사인·코사인 그래프에서 사용하는 진폭을 그대로 적용하지 않는다.
처음 어긋난 기호 바로 아래에 중간식 남기기
풀이 중 2x-π/3=π/2를 x=π/4로 계산했다면, 오류는 마지막 답이 아니라 2x=5π/6에서 2로 나누는 과정에 있다. 바로 아래에
x=5π/12
를 다시 쓰고, 이어서 x=5π/12+kπ/2로 일반화한다. 이렇게 하면 점근선을 한 개만 표시하거나 주기를 π로 잘못 쓰는 흐름을 끊을 수 있다.
대입으로 점근선과 주기를 확인하는 새 조건
다음 식으로 판단을 바꿔 보자.
y=tan(3x+π/6)-2
주기는
3Δx=π → Δx=π/3
이고, 점근선은
3x+π/6=π/2+kπ
3x=π/3+kπ
x=π/9+kπ/3
이다. 예를 들어 x=π/18을 대입하면 내부 각은 π/3이므로
y=tan(π/3)-2=√3-2
가 되어 함수값이 존재한다. 반대로 x=π/9에서는 내부 각이 π/2가 되어 함수값을 대입할 수 없다. 이처럼 새로운 계수에서도 주기와 점근선을 따로 계산하고, 실제 대입 가능한 값과 정의되지 않는 값을 구분해야 풀이가 안정된다.