행신동고1수학과외: 조합의 분모 r!이 필요한 이유를 답안에 쓰기
행신고등학교, 백양고등학교, 서정고등학교, 무원고등학교가 있는 행신동에서는 통학과 과제 시간을 함께 조절해야 하는 고1 수학 학습이 중요하다. 특히 순열과 조합은 공식을 대입하는 것보다 왜 순열의 경우를 r!로 나누는지를 서술하는 과정에서 학습 상태가 드러난다.
계산은 남았지만 설명 한 줄이 비어 있던 답안
학교 프린트의 문제는 다음과 같았다.
7명 중 3명을 뽑아 대표단을 구성하는 방법의 수를 구하고, 조합 공식에 분모 3!이 나타나는 이유를 설명하시오.
학생의 답안에는 7C3 = 7P3 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35라는 계산만 적혀 있었다. 답은 맞았지만, 왜 3!로 나누는지는 쓰지 않았고 곧바로 다음 줄의 계산으로 넘어갔다. 여백에도 관련 성질이나 조건을 적은 흔적이 없었다.
순서가 다른 3!개의 배열은 같은 대표단이다
순열 7P3은 대표단을 뽑은 뒤 순서까지 정한다. 예를 들어 세 사람 A, B, C가 뽑혔다면 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA처럼 총 3! = 6가지 배열이 생긴다.
그러나 대표단을 구성하는 문제에서는 ABC와 CBA를 서로 다른 결과로 세지 않는다. 세 명이 정해진 하나의 대표단이 순열에서는 3!번씩 반복되어 세어지므로, 순열의 수를 3!로 나누어 중복을 제거한다.
따라서
7C3 = 7P3 ÷ 3! = (7×6×5) ÷ (3×2×1) = 35
이며, 분모는 임의로 붙는 숫자가 아니라 선택된 3명을 배열하는 방법의 수에서 나온다. 일반적으로 순서가 없는 r명의 선택은 순열에서 같은 선택이 r!번씩 세어지므로
nCr = nPr ÷ r!
가 된다.
빠진 설명의 위치를 표시하고 그 줄부터 다시 쓰기
오답을 고칠 때 계산 결과만 다시 적지 않고, 답안에서 설명이 빠진 위치에 표시를 했다. 7P3을 계산한 직후에 다음 문장을 넣었다.
선택된 3명은 순열에서는 3!가지 순서로 배열되지만 대표단 구성에서는 순서를 구별하지 않으므로, 같은 대표단이 3!번씩 중복되어 세어진다. 따라서 3!로 나눈다.
이 사례의 문제는 계산 오류가 아니라 표현 단계의 누락이다. 순열과 조합의 차이를 말로 설명하지 못한 채 공식과 계산만 기록한 것이므로, 개념·조건·계산·표현 중 표현에 해당하는 오류로 분류했다.
조건이 붙은 문장제로 설명을 다시 확인하기
이후에는 다음과 같이 조건을 하나 추가한 문제를 제시했다.
7명 중 3명을 뽑아 대표단을 구성하되, 그중 회장은 반드시 1명 정한다. 대표단과 회장을 정하는 방법의 수를 구하고, 조합 부분에서 나누는 이유를 설명하시오.
먼저 대표단을 고르는 방법은 7C3 = 35가지이다. 대표단이 정해진 뒤 회장은 3명 중 한 명을 고를 수 있으므로 전체 경우의 수는 35×3 = 105가지이다.
학생이 설명해야 할 부분은 다음과 같다.
대표단 자체는 세 사람의 순서를 구별하지 않으므로 7P3으로 세면 같은 세 사람이 3!번씩 중복된다. 따라서 대표단을 고르는 수는 7P3을 3!로 나눈 7C3이고, 회장 선정은 대표단이 정해진 뒤 별도로 3가지 중 하나를 고르는 과정이다.
이번 문제에서 학생이 7P3을 그대로 사용하거나 3!로 나누는 이유를 생략하면, 같은 문제를 다시 맞혔는지와 관계없이 설명 단계가 재현되지 않은 것으로 기록한다.
행신동의 짧은 학습 시간에 남길 확인 기준
행신동에서 통학 후 학교 과제와 시험 준비를 이어 갈 때는 풀이 전체를 길게 다시 쓰기보다, 순열을 사용한 뒤 무엇을 중복해서 세었는지, 조합에서는 왜 순서를 구별하지 않는지를 한 문장으로 적게 한다. 다음 문제에서는 답만 확인하지 않고 개념·조건·계산·표현 중 어느 단계에서 같은 오류가 나타났는지 표시한다.