행신동 고3수학과외에서 다룬 곡선 사이 넓이의 부호 점검
행신고등학교, 백양고등학교, 서정고등학교, 무원고등학교가 있는 행신동에서는 통학과 과제가 겹치며 풀이를 서둘러 마무리하는 경우가 있다. 행신SK뷰아파트와 무원마을10단지 생활권에서 이동한 뒤 문제를 풀던 학생도 계산보다 먼저 확인해야 할 곡선의 위아래 관계를 답안 여백에서 건너뛰었다.
교점에 따라 적분식을 나누는 과정
구간 [-1,3]에서 두 곡선
y=x2, y=2x
사이의 넓이를 구한다고 하자. 교점은
x2=2x → x(x-2)=0 → x=0, 2
이다. 따라서 구간을 [-1,0], [0,2], [2,3]으로 나눠야 한다. 실제로
[-1,0]에서는x2 > 2x[0,2]에서는2x > x2[2,3]에서는x2 > 2x
이므로 넓이는
∫-10(x2-2x)dx + ∫02(2x-x2)dx + ∫23(x2-2x)dx
이다. 각 값은 각각 4/3, 4/3, 4/3이므로 전체 넓이는 4이다.
실제 오답과 수정
학생 오답: ∫-13(2x-x2)dx = -4/3
이 식은 틀렸다. y=2x가 전체 구간에서 항상 위에 있다고 가정했기 때문이다. 하지만 x=-1에서는 x2=1, 2x=-2이고, x=3에서는 x2=9, 2x=6이므로 위 함수가 구간마다 달라진다. 음수 결과가 나온 것은 넓이를 나타내는 피적분식의 부호를 잘못 정했다는 신호다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 교점 x=0,2를 다시 적고, 각 구간의 대표값을 대입해 위아래를 확인했다. 이후 세 적분으로 식을 수정하고, 계산 결과를 그래프의 세 부분 넓이와 비교해 모두 양수인지 검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 구간과 곡선을 바꿔 y=x2-1, y=x+1의 교점 사이 넓이를 확인했다.
x2-1=x+1 → x2-x-2=0 → x=-1,2
x=0을 대입하면 직선의 값은 1, 포물선의 값은 -1이므로 직선이 위에 있다. 따라서
∫-12{(x+1)-(x2-1)}dx = ∫-12(-x2+x+2)dx = 9/2
이다. 교점 사이에서 위아래가 바뀌지 않는지 확인한 뒤 양수 넓이가 나오는 것까지 재계산하며, 학생은 적분 전에 반드시 교점·구간·위 함수를 먼저 적는 습관을 적용했다.