토당동고2수학과외

토당동고2수학과외: 삼각함수 값은 계산보다 사분면을 먼저 읽어야 한다

능곡고등학교를 비롯해 토당동에서 학교와 주거지 사이 이동 시간이 다른 학생들은 풀이를 시작하는 시점도 제각각이다. 토당KCC아파트나 별빛마을9단지처럼 생활권이 다른 만큼, 짧은 시간에 삼각함수 문제를 풀 때 계산을 먼저 하는 습관이 생기기 쉽다. 그러나 주어진 한 값으로 다른 삼각함수 값을 구하는 문제에서는 단위원의 위치와 부호를 먼저 정해야 한다.

sinθ=3/5와 제4사분면이 동시에 나올 수 없는 이유

풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었다.

sinθ=3/5, 제4사분면
cosθ=-4/5

여기에는 두 가지 판단이 빠져 있다. 제4사분면에서는 사인값이 음수이고 코사인값이 양수이다. 따라서 sinθ=3/5와 θ가 제4사분면이라는 조건은 서로 모순된다. 이 식을 그대로 계산해 cosθ의 부호만 정하는 것은 올바른 풀이가 아니다.

만약 문제의 뜻이 |sinθ|=3/5, θ가 제4사분면이라는 의미라면 단위원에서 세로 좌표는 음수이므로

sinθ=-3/5

가 되어야 한다. 피타고라스 관계를 이용하면

sin²θ+cos²θ=1
(−3/5)²+cos²θ=1
cos²θ=16/25

제4사분면의 코사인은 양수이므로

cosθ=4/5

이다. 즉, √(1−sin²θ)만 계산해서 끝내는 것이 아니라, 제곱근 앞의 부호를 사분면으로 결정해야 한다.

오류가 시작된 줄에서 조건표를 다시 세우기

이 학생에게 필요한 것은 풀이 전체를 처음부터 베껴 쓰는 일이 아니다. 부호가 결정되는 지점에서 다음 세 줄을 먼저 작성하게 한다.

주어진 값: |sinθ|=3/5
사분면: 제4사분면
부호: sinθ<0, cosθ>0

그 뒤에만 제곱 관계를 적용한다.

cosθ=±√(1−(−3/5)²)=±4/5
제4사분면이므로 cosθ=4/5

이 과정을 통해 단위원 대응 없이 숫자부터 계산하던 흐름을 끊고, 값의 크기와 부호를 분리해서 기록할 수 있다. 특히 원래 조건이 실제로 가능한지도 함께 확인해야 한다. “sinθ=3/5, 제4사분면”을 그대로 답안에 남긴다면 계산 결과가 맞더라도 조건 판독은 틀린 것이다.

계수의 위치가 바뀐 식에서 선택한 공식을 확인하다

새 문제에서는 다음 조건을 제시한다.

cosθ=−5/13이고 θ가 제3사분면일 때 sinθ를 구하여라.

이번에는 코사인에서 사인으로 바뀌었으므로 같은 식을 기계적으로 복사하지 않고, 먼저 필요한 관계를 선택해야 한다.

sin²θ=1−cos²θ
=1−(−5/13)²
=1−25/169
=144/169

제3사분면에서는 사인과 코사인이 모두 음수이다. 따라서

sinθ=−12/13

이다. 마지막에는 sin²θ+cos²θ=144/169+25/169=1인지 확인하고, 제3사분면의 부호인 sinθ<0도 다시 대조한다. 계수의 위치와 주어진 함수가 달라져도 “제곱으로 크기 계산 → 사분면으로 부호 결정”이라는 판단을 스스로 선택했는지가 풀이의 기준이 된다.