토당동고1수학과외, 합의 법칙과 곱의 법칙을 다시 고르는 연습
경기도 고양시 덕양구 토당동에서 능곡고등학교 학습을 이어 갈 때 경우의 수 문제는 계산 속도보다 먼저 조건과 대상을 해석해야 한다. 토당KCC아파트나 별빛마을9단지처럼 귀가 동선이 다른 생활권에서는 확보되는 공부 시간이 다를 수 있지만, 짧은 시간에도 문제의 구조를 식으로 바꾸는 훈련은 분명하게 진행할 수 있다.
답안 첫 줄에 빠진 선택 기준
학교 프린트에 다음 문제가 나왔다고 하자.
토핑 3가지 중 1가지를 고르고, 음료 4가지 중 1가지를 고르는 방법은 모두 몇 가지인가?
학생은 조건을 나누거나 이어 붙이는 표시 없이 곧바로 3+4=7이라고 적었다. 그러나 여기서 구하는 대상은 ‘토핑만 고르는 경우’와 ‘음료만 고르는 경우’가 아니다. 토핑 하나와 음료 하나가 함께 정해진 한 세트이므로, 토핑 선택마다 음료 4가지를 다시 선택한다.
따라서 방법의 수는 3×4=12이다. 두 선택이 동시에 이루어져 하나의 결과를 만들면 곱의 법칙을 사용한다.
나누어 세는지, 이어서 세는지 구별하기
합의 법칙은 결과가 서로 겹치지 않는 여러 종류로 나뉠 때 적용한다. 예를 들어 학생증 비밀번호를 숫자 1, 2, 3 중 하나 또는 문자 A, B 중 하나로 정하는 경우에는 숫자와 문자가 동시에 선택되는 것이 아니라 둘 중 한 종류를 고르는 것이므로 3+2=5이다.
반면 ‘버스 2개 노선 중 하나를 고른 뒤, 하차 후 도보 경로 3개 중 하나를 고른다’처럼 선택이 연속되어 하나의 이동 방법을 만들면 2×3=6이다. 문제에 ‘또는’이 있다고 무조건 합을 쓰거나, 선택 단계가 있다고 무조건 곱을 쓰는 것이 아니라 최종 결과 하나가 몇 개의 선택으로 구성되는지 확인해야 한다.
조건이 바뀌면 대상부터 다시 고른다
처음 문제를 맞힌 뒤 학생에게 다음 변형을 제시했다.
토핑 3가지 중 1가지와 음료 4가지 중 1가지를 고르되, 특정 토핑을 고른 경우에는 음료 2가지만 선택할 수 있다. 가능한 세트의 수를 구하여라.
학생은 이전 식인 3×4=12를 그대로 적으려 했다. 하지만 이제는 모든 토핑에 음료 4개가 대응하지 않는다. 특정 토핑을 고른 경우는 1×2=2가지이고, 나머지 토핑 2가지를 고른 경우는 각각 음료 4가지가 가능하므로 2×4=8가지이다. 서로 다른 토핑을 고른 경우로 나뉘므로 합의 법칙을 사용하여
1×2+2×4=10
을 얻는다. 조건이 추가되면서 ‘한 번에 연결되는 선택’이 ‘서로 다른 경우의 분류’로 바뀐 것이다.
풀이 전에 적는 짧은 구조 표시
훈련에서는 숫자를 계산하기 전에 문제의 대상을 한 줄로 쓰게 한다. 위 문제라면 다음과 같다.
- 특정 토핑: 음료 2개와 결합 → 1×2
- 그 밖의 토핑: 음료 4개와 결합 → 2×4
- 두 경우는 겹치지 않음 → 더하기
이 기록은 공식을 외우는 문장이 아니라, 실제로 무엇을 하나의 결과로 세고 있는지 드러내는 장치다. 학생이 조건과 대상이 바뀐 문제에서도 이 표시를 먼저 남긴 뒤 식을 세우는지 확인한다.
문장 속 숫자를 모두 사용하지 않는 확인 문제
표현을 바꾼 중2 선행 맛보기 문제를 제시한다.
도서관에서 소설 5권, 과학책 3권, 잡지 4권이 전시되어 있다. 소설 또는 과학책 중 한 권을 빌리는 방법과, 잡지 2권을 순서 없이 고르는 방법을 각각 구하여라.
첫 번째 대상은 소설과 과학책 중 한 권이므로 5+3=8이다. 잡지 2권을 고르는 방법은 순서가 없는 선택이므로 ₄C₂=6이다. 문제에 있는 숫자 5, 3, 4를 한 식에 모두 넣지 않고, 구하는 대상에 필요한 관계만 골라야 한다.
이처럼 새로운 수치와 표현에서도 학생이 먼저 ‘서로 다른 경우를 합치는가’, ‘선택을 연속해서 결합하는가’를 적고 그 뒤 계산한다면, 합의 법칙과 곱의 법칙을 상황에 맞게 다시 선택하고 있는 것으로 판단할 수 있다.
생활 리듬에 맞춘 점검
능곡고등학교와 주거지 사이 이동 시간이 짧은 학생은 학교 프린트의 변형 문제를 한 세트씩 풀며 구조 표시까지 확인할 수 있다. 반대로 이동 시간이 더 긴 학생은 귀가 후 긴 문제 풀이보다, 문제를 읽고 ‘합’ 또는 ‘곱’의 근거를 한 줄로 적는 점검부터 수행하는 편이 적절하다. 같은 덕양구의 화수고등학교, 백양고등학교, 신원고등학교, 성사고등학교는 참고 학교일 뿐 토당동 소재 학교로 구분하지 않으며, 학교와 생활권에 따라 확보된 시간을 다르게 활용한다.