토당동 고3수학과외: 절댓값 정적분에서 영점과 조건을 먼저 확인하기
토당동의 능곡고등학교처럼 학교와 주거지의 거리에 따라 귀가 후 공부 시간이 달라질 수 있는 환경에서는, 긴 계산보다 짧은 시간 안에 조건을 정확히 정리하는 풀이 습관이 중요하다. 한 학생은 절댓값 정적분을 처음부터 풀었지만, 영점의 위치와 정의역 조건을 끝까지 연결하지 못했다.
후보를 모두 남긴 오답
다음 조건을 독립적으로 해결했다.
문제: 실수 \(a\)에 대하여
\[ \int_{-2}^{2}|x-a|\,dx=6 \]
학생은 먼저 \(-2\le a\le2\)인 경우를 계산하여
\[ \int_{-2}^{2}|x-a|\,dx =\frac{(a+2)^2}{2}+\frac{(2-a)^2}{2} =a^2+4 \]
이므로 \(a^2+4=6\), \(a=\pm\sqrt2\)를 얻었다. 그러나 바깥 구간도 같은 식으로 처리하며 다음과 같이 적었다.
오답: \(a=\pm\sqrt2,\ \pm\frac32\)
이 식은 틀렸다. \(a=\frac32\)와 \(a=-\frac32\)는 실제로 \([-2,2]\) 안에 있으므로 바깥 구간의 식 \(4|a|=6\)을 적용할 수 없다. 바깥 조건은 \(|a|\ge2\)일 때만 성립하며, 이때 \(4|a|=6\)에서 얻는 \(|a|=\frac32\)는 정의역 밖이다. 따라서 바깥 구간에서는 해가 없고, 최종 답은
\[ \boxed{a=\pm\sqrt2} \]
틀린 줄부터 조건까지 다시 점검하기
- 틀린 줄에 표시한다: \(a=\pm\frac32\).
- 해당 식을 만든 조건을 확인한다: \(a\le-2\) 또는 \(a\ge2\).
- \(\pm\frac32\)를 조건에 대입한다. 두 값 모두 \(|a|<2\)이므로 제외한다.
- 남은 값 \(\pm\sqrt2\)를 원래 적분식에 대입한다.
\[ \int_{-2}^{2}|x-\sqrt2|\,dx=(\sqrt2)^2+4=6 \]
\[ \int_{-2}^{2}|x+\sqrt2|\,dx=(-\sqrt2)^2+4=6 \]
이처럼 괄호 안에 제외할 후보를 묶어 두는 것만으로 끝내지 않고, 반드시 해당 구간 조건에 직접 대입해야 한다. 절댓값 함수에서는 계산식보다 영점 \(x=a\)가 적분 구간 안에 있는지가 먼저다.
영점이 하나 더 생긴 식으로 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 절댓값 안의 영점이 하나 더 생긴 식을 확인했다.
검증 문제:
\[ \int_{0}^{4}|(x-1)(x-2)(x-3)|\,dx \]
영점은 \(1,2,3\)이므로 구간을 \(0\sim1,\ 1\sim2,\ 2\sim3,\ 3\sim4\)로 나눈다. 다항식을
\[ f(x)=x^3-6x^2+11x-6 \]
이라 하면 부정적분은
\[ F(x)=\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{11x^2}{2}-6x \]
이고 부호는 네 구간에서 차례로 음수, 양수, 음수, 양수이다. 따라서
\[ \int_{0}^{4}|f(x)|dx =-[F(1)-F(0)]+[F(2)-F(1)] -[F(3)-F(2)]+[F(4)-F(3)] \]
\[ =\frac94+\frac14+\frac14+\frac94 =\boxed5 \]
영점이 세 개이면 두 구간만 사용하는 것이 아니라 영점마다 구간을 추가해야 한다. 함수식의 부호표와 적분 구간을 함께 확인한 뒤 계산하고, 마지막에는 각 부분 넓이가 양수로 합쳐지는지 대조하는 방식으로 독립 검증을 마무리했다.