원흥동고2수학과외

tanθ를 쓰기 전에 단위원에서 부호를 확인하는 이유

원흥동고2수학과외에서 풀이를 살펴보면, 학생이 삼각함수 사이의 관계를 알고도 단위원에서 각의 위치를 확인하지 않은 채 계산을 시작하는 장면이 나타났다. 특히 tanθ=sinθ/cosθ를 사용할 때 분모가 0인지 확인하지 않아, 성립하지 않는 식까지 그대로 변형하고 있었다.

sinθ의 값만으로 cosθ를 정할 수 없는 경우

예를 들어 θ가 제2사분면이고 sinθ=3/5일 때 단위원에서 y좌표가 양수이고 x좌표가 음수이므로

sin²θ+cos²θ=1

(3/5)²+cos²θ=1

cos²θ=16/25

까지 계산한 뒤, 제2사분면의 부호를 반영해야 한다.

cosθ=-4/5, 따라서 tanθ=(3/5)/(-4/5)=-3/4

학생은 여기서 단위원 대응 없이 cosθ=4/5라고 적은 뒤 tanθ=3/4를 얻었다. 제곱식에서 나온 두 가능성 중 사분면에 맞지 않는 부호를 제거하지 않은 것이다. 계수와 부호가 바뀐 변형문제에서 같은 오류가 반복된 이유도 이 지점에 있었다.

cosθ=0일 때는 tanθ를 나눠 만들 수 없다

tanθ=sinθ/cosθ는 cosθ≠0일 때만 사용할 수 있다. θ가 π/2이면

sinθ=1, cosθ=0

이므로 sinθ/cosθ=1/0은 정의되지 않는다. 따라서 이 경우에 tanθ=1/0 또는 어떤 유한한 값이라고 적으면 안 된다.

풀이식 옆에 먼저 cosθ≠0을 표시하고, 단위원에서 각의 위치와 부호를 확인한 뒤 관계식을 적용하도록 답안을 고쳤다. 또한 사용한 식을 거꾸로 되돌려 원래 식이 복원되는지 점검했다. 예를 들어 tanθ=sinθ/cosθ에서 출발했다면 tanθ·cosθ=sinθ가 되는지 확인하되, 이 역변형 역시 cosθ≠0이라는 조건 안에서만 다룬다.

분수와 정수가 섞인 식에서 기준 유지하기

새 조건으로 제3사분면의 각 θ에 대해 cosθ=-5/13이 주어졌다고 하자. 제3사분면에서는 sinθ도 음수이므로

sin²θ=1-cos²θ=1-25/169=144/169

에서 sinθ=-12/13을 선택한다. 그러면

tanθ=(-12/13)/(-5/13)=12/5

이다. 양수라는 결과만 보고 판단하지 않고, 실제로 sinθ/cosθ=(-12/13)÷(-5/13)=12/5인지 다시 대입해야 한다. 이 과정에서 단위원의 사분면, 제곱근의 부호, 분모의 0 여부가 모두 유지되는지 확인할 수 있다.

원흥도래울마을과 원흥아파트 생활권에서 귀가 후 제한된 시간에 풀이를 점검할 때도 결과만 표시하지 않고, 답안에 사분면 → 부호 → 관계식의 조건 → 대입 검산 순서를 남기는 방식이 유효하다. 새로운 계수나 표현이 등장해도 이 기준을 스스로 적용하는지가 삼각함수 관계식 학습의 확인 지점이다.