원흥동 고3수학과외, 절댓값 구간을 나눈 뒤 경계값까지 검산하기
원흥동에는 해당 지역명 주소로 확인되는 고등학교가 없으므로, 화수고·백양고·신원고·성사고·능곡고 등 덕양구 내 학교를 통학권 참고 범위로 볼 수 있다. 귀가 시각과 과제량이 다른 상황에서도 정적분 풀이의 핵심은 조건과 경계값을 끝까지 확인하는 것이다.
절댓값 때문에 먼저 구간을 나누는 문제
학생은 다음 적분을 풀었다.
I=\int_{-1}^{2}|x|e^x\,dx
절댓값의 영점이 x=0이므로
|x|=-x \quad(-1\le x\le0), \qquad |x|=x \quad(0\le x\le2)
로 나누어야 한다. 부분적분의 결과는
\int xe^x\,dx=(x-1)e^x
이다.
학생의 오답과 경계 대입 오류
학생은 다음과 같이 계산했다.
I=\left[(x-1)e^x\right]_{-1}^{2}=e^2+\frac{2}{e}
이 식은 오답이다. 절댓값을 무시했고, 구간 전체에 xe^x의 원시함수를 적용했다. 또한 상한과 하한을 바꾸어 적은 경우에는 반드시
\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx
가 되어야 하는데, 경계 대입 순서를 확인하지 않아 부호 판단도 흔들렸다.
틀린 줄부터 다시 고치는 과정
- 틀린 줄 표시: \(\left[(x-1)e^x\right]_{-1}^{2}\)를 절댓값 전체 구간에 적용한 부분에 표시한다.
- 조건 확인: 절댓값의 영점 \(x=0\)을 기준으로 \([-1,0]\), \([0,2]\)를 나눈다.
- 식 수정: \(\displaystyle I=\int_{-1}^{0}(-x)e^x\,dx+\int_{0}^{2}xe^x\,dx\)로 바꾼다.
- 계산: \(\displaystyle \int(-x)e^x\,dx=-(x-1)e^x\), \(\displaystyle \int xe^x\,dx=(x-1)e^x\)를 사용한다.
- 경계 대입: \(\displaystyle \int_{-1}^{0}(-x)e^x\,dx=1-\frac2e\), \(\displaystyle \int_{0}^{2}xe^x\,dx=e^2+1\)이다.
따라서
I=e^2+2-\frac2e
이다. 각 구간에서 함수가 음수가 아닌 \(|x|e^x\ge0\)이므로 적분값이 양수라는 점도 역검산한다. 학생은 해설을 바로 찾기보다 영점, 구간 방향, 경계 대입 결과를 체크박스로 표시하며 풀이 근거를 유지한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 범위만 바꾸어 다음 문제를 다시 풀었다.
J=\int_{-2}^{1}|x|e^x\,dx
영점 \(0\)에서 나누면
J=\int_{-2}^{0}(-x)e^x\,dx+\int_{0}^{1}xe^x\,dx
이고,
\int_{-2}^{0}(-x)e^x\,dx=1-\frac3{e^2}, \qquad \int_{0}^{1}xe^x\,dx=1
이므로
J=2-\frac3{e^2}>0
이다. 새 상한과 하한에서도 영점 분할, 부분적분식, 경계 대입 순서를 처음부터 재현했는지 확인하면 단순 암기가 아니라 변수와 조건의 관계를 검증할 수 있다.