원흥동고1수학과외, 조건부 경우의 수에서 먼저 고정할 대상 찾기
원흥도래울마을처럼 귀가 후 확보되는 시간이 일정하지 않은 생활권에서는 학교 과제와 시험 준비 순서를 함께 점검해야 한다. 특히 경우의 수 문제는 계산 속도보다 조건을 나누는 기준을 먼저 세우는 일이 중요하다.
계산 전에 경우를 가르는 기준
남학생 4명 \(A,B,C,D\)와 여학생 3명 \(P,Q,R\) 중 3명을 뽑되, 여학생이 적어도 한 명 포함되도록 하는 문제를 보자. 이때 ‘여학생이 몇 명 뽑히는가’를 먼저 고정하면 경우가 겹치지 않는다.
- 여학생 1명: \(\binom{3}{1}\binom{4}{2}=3\times6=18\)
- 여학생 2명: \(\binom{3}{2}\binom{4}{1}=3\times4=12\)
- 여학생 3명: \(\binom{3}{3}\binom{4}{0}=1\)
따라서 전체 경우의 수는 \(18+12+1=31\)이다. 각 경우는 여학생 수가 1명, 2명, 3명으로 분리되어 서로 중복되지 않는다.
빠진 한 줄이 만든 오답
학생의 답안에는 \(18+12=30\)만 적혀 있었다. 여학생이 3명인 경우를 따로 고정하지 않았고, 중간 계산이 끝난 뒤 원래 조건인 ‘적어도 한 명’을 다시 대조하지 않은 것이다. 여백에도 경우를 나눈 기준이 표시되어 있지 않아, 다음 계산으로 곧바로 넘어간 장면이 확인됐다.
여학생 수 \(k\)를 먼저 정한다. \(k=1,2,3\)을 모두 적은 뒤 각 경우를 더한다.
이 한 줄을 먼저 쓰면 \(k=0\)은 조건에 맞지 않아 제외되고, \(k=3\)은 빠뜨리지 않게 된다. 조건부 경우의 수에서는 숫자를 계산하기 전에 어떤 대상을 고정했는지 답안에 남겨야 한다.
원래 조건으로 되돌아가는 검산
계산 뒤에는 각 항이 원래 조건을 만족하는지 확인한다. \(k=1\)이면 여학생 한 명과 남학생 두 명, \(k=2\)이면 여학생 두 명과 남학생 한 명, \(k=3\)이면 여학생 세 명이다. 반대로 여학생이 한 명도 없는 \(\binom{4}{3}=4\)가 포함되면 안 된다.
전체 3명 선택은 \(\binom{7}{3}=35\)이고, 여학생이 없는 경우를 빼면 \(35-4=31\)이므로 앞의 분할 결과와도 일치한다. 이 검산은 같은 계산을 반복하는 것이 아니라 조건에 맞는 경우만 포함했는지 확인하는 과정이다.
서술형 조건을 늘린 뒤의 확인
새 문제에서는 위 조건에 “선발 인원 \(n\)명이 늘어날 때 필요한 좌석 수 \(s\)도 같은 비율로 늘어난다”는 표를 추가한다. 예를 들어 \((n,s)=(2,6),(4,12),(7,21)\)이라면 \(\frac{s}{n}=3\)으로 일정하므로 \(s=3n\), 즉 정비례이다.
반대로 \((n,s)=(2,24),(4,12),(8,6)\)처럼 \(ns=48\)이 일정하면 \(s=\frac{48}{n}\)으로 반비례이다. 학생이 표의 변화 관계를 먼저 읽고 정비례인지 반비례인지 스스로 결정하는지, 그리고 경우의 수에서도 먼저 고정한 기준을 답안에 표시하는지 함께 확인한다.
귀가 후 짧은 학습 시간에 남길 흔적
원흥동에서 귀가 시간이 늦어진 날에는 많은 문제를 풀기보다 조건부 경우의 수 한 문제의 첫 줄을 점검하는 편이 효율적이다. ‘무엇을 먼저 고정했는가’, ‘빠진 경우는 없는가’, ‘각 경우가 겹치지 않는가’를 식 옆에 짧게 기록하면 계산 후 조건으로 돌아가는 습관을 확인할 수 있다.