원당동고2수학과외: sin·cos의 주기는 그래프의 높이가 아니라 x계수로 결정된다
신원당200단지나 원당전원마을처럼 귀가 시간과 자습 가능 시간이 다른 생활권에서는 짧은 풀이에서도 첫 줄의 판단이 중요하다. 삼각함수 그래프 문제에서 학생은 점근선이나 이동이 없는 새 문항을 보자 직전 예제의 절차를 그대로 적용했고, y=sin x의 한 주기를 0부터 π까지로 잡았다.
π에서 다시 시작해도 같은 그래프가 되지 않는다
y=sin x는 다음 관계를 만족한다.
sin(x+2π)=sin x
따라서 기본 주기는 2π이다. 0≤x≤π에서는 그래프가 한 번 끝난 것이 아니라, 양수 부분만 지나고 x=π에서 0으로 돌아온 상태다. 이후 π<x≤2π에서는 음수 부분이 이어진다.
오답과 수정한 줄을 나란히 놓으면 달라진 기호는 하나다.
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
y=sin x의 한 주기: 0≤x≤π |
y=sin x의 한 주기: 0≤x≤2π |
이 차이는 단순한 숫자 수정이 아니다. 사인 그래프가 원래 값으로 돌아오는 최소 양의 변화량을 확인한 결과가 2π이기 때문이다. 코사인도 cos(x+2π)=cos x이므로 기본 주기는 역시 2π이다.
계수와 부호가 바뀌어도 주기 판단은 x의 계수에서 시작한다
예를 들어
y=-2cos(3x)+1
에서 -2는 그래프의 반사와 세로 확대를 만들고, +1은 위아래 이동을 만든다. 이 값들은 주기를 바꾸지 않는다. 주기를 결정하는 것은 괄호 안의 3x이며,
3T=2π에서 T=2π/3
이다. 따라서 일반형 y=A sin(Bx+C)+D 또는 y=A cos(Bx+C)+D에서 A≠0이면 주기는
T=2π/|B|
로 정리한다. 부호가 바뀐 B도 절댓값을 사용해야 주기가 양수가 된다.
문자 매개변수로 바꿔도 첫 줄이 유지되는가
수치가 사라진 문항으로 다음을 확인한다.
y=a sin(bx+c)+d에서 a≠0, b≠0일 때의 주기를 구하여라.
이때 이동항 c, 세로 확대·반사 계수 a, 수직 이동량 d에 끌려가지 않고, 사인값의 입력이 한 바퀴 변하는 조건을 먼저 적는다.
bT=2π가 아니라 부호까지 고려하여 |b|T=2π
∴ T=2π/|b|
예를 들어 b=-4이면 주기는 π/2이고, a와 d가 어떤 실수로 바뀌어도 이 주기는 변하지 않는다. 풀이 첫 줄을 0≤x≤π처럼 외워 적는 대신, 먼저 |b|T=2π를 세워야 새로운 표현에서도 같은 판단이 이어진다.
원당동에서 학교까지의 이동 거리와 주간 학습 시간이 학생마다 다르더라도, 짧은 풀이 기록에는 이 기준을 남길 수 있다. 새 계수와 부호가 등장했을 때도 첫 줄에 기본 주기 2π와 입력 계수 |b|의 관계를 적고, 마지막에 구한 T>0인지 확인하면 된다.