원당동고1수학과외, 조합에서 순서를 지우는 판단
원당동의 신원당200단지나 원당전원마을처럼 귀가 시간이 서로 다른 생활권에서는 긴 풀이를 끝까지 붙잡기보다, 학교 프린트의 조건을 짧게 기록하며 풀이 방향을 유지하는 훈련이 필요하다. 덕양구의 화수고등학교·백양고등학교 등 통학권 참고 학교 문제를 다룰 때도 조합에서는 선택한 대상의 순서가 결과에 영향을 주는지 먼저 판단해야 한다.
같은 사람을 뽑고 배열만 바꾼 경우
예를 들어 7명 중 3명을 뽑아 한 모둠을 만드는 경우의 수는
₇C₃ = 7×6×5 ÷ (3×2×1) = 35
이다. A, B, C를 고른 모둠은 C, A, B로 적어도 같은 구성이다. 순서가 있는 배열이라면 3!가지가 서로 다른 경우가 되지만, ‘모둠을 고른다’는 조건에서는 배열을 구별하지 않는다.
선택한 구성 {A, B, C}와 {C, A, B}를 서로 다른 경우로 세지 않는다.
계산이 길어지며 사라진 조건
관찰된 답안에서는 처음에 적힌 ‘모둠 구성’이라는 조건을 여백에 남기지 않았다. 이후 7×6×5를 계산한 뒤 3!로 나누는 근거를 표시하지 않고 다음 줄로 넘어갔다. 답이 210으로 끝났다면 이는 같은 세 사람의 순서를 6번씩 중복 계산한 결과다.
정확한 풀이는 7명을 순서 있게 뽑는 7P3을 계산한 뒤, 같은 3명의 배열 3!가지를 하나로 묶는 것이다.
₇P₃ ÷ 3! = (7×6×5) ÷ (3×2×1) = 35
또는 처음부터 조합식으로 ₇C₃라고 쓰면 된다. 나누는 이유는 숫자 조작이 아니라, 한 구성에 포함된 3명의 배열을 모두 같은 경우로 처리하기 위해서다.
식 옆에 남겨야 하는 한 줄
풀이를 시작할 때 문제의 대상을 ‘구성’ 또는 ‘자리’ 중 하나로 표시하게 한다. 구성이라면 {A,B,C} = {C,A,B}를 적고, 자리 배치라면 순서가 달라질 때 다른 경우인지 확인한다. 학생이 “순서가 달라도 같은 모둠이므로 3!로 나눈다”고 말한 뒤 계산하도록 하면, nCr을 외운 식이 아니라 중복을 제거하는 도구로 사용하게 된다.
예를 들어 8명 중 2명을 대표로 뽑는다면 대표의 직책이 구별되는지 확인해야 한다. 단순히 대표 2명을 선정하는 경우는 ₈C₂ = 28이지만, 회장과 부회장을 각각 정하는 경우는 ₈P₂ = 8×7 = 56이다. 같은 두 사람이라도 역할이 달라지면 순서가 의미를 갖는다.
표현이 바뀌어도 구성인지 판별하기
검증에서는 같은 숫자를 반복하지 않고 조건을 바꾼다. 네 명을 뽑는 장면을 그림에서 위치가 다른 네 칸에 표시하거나, 식의 괄호 위치를 바꾸어 제시한 뒤 “자리 배치가 아니라 선택한 사람의 구성만 묻는다”고 안내한다. 학생이 위치에 끌려가 4!을 곱하지 않고, 선택된 네 명의 집합만 비교하는지 확인한다.
예를 들어 9명 중 4명을 한 팀으로 정하는 문제라면
₉C₄ = 9×8×7×6 ÷ (4×3×2×1) = 126
이다. 그림에서 네 사람의 위치가 달라져도 길이·각·평행 조건처럼 별도의 구별 기준이 제시되지 않았다면, 이 문제에서는 위치가 아니라 팀의 구성만 세어야 한다. 맞힌 문제라도 풀이 시간이 오래 걸렸다면 ‘구성인지 배열인지’와 그 근거를 답안에 남긴 것으로 확인한다.