원당동고3수학과외

교점과 부호를 기준으로 넓이식을 다시 세우는 연습

원당동고3수학과외에서는 신원당200단지나 원당전원마을처럼 생활 위치에 따라 달라지는 공부 시간을 고려해, 짧은 시간에도 풀이 근거를 남기는 연습을 진행합니다. 원당동 주소에 확인된 고등학교는 없으므로 화수고, 백양고, 신원고, 성사고, 능곡고 등 덕양구 내 통학권 학생의 학습 사례로 볼 수 있습니다.

한 번의 정적분으로 처리한 오답

학생은 다음 문제에서 곡선과 x축 사이의 넓이를 구하며 부호가 바뀌는 지점을 끝까지 나누지 않았다.

함수 f(x)=(x+1)(x-2)(x-4)와 x축이 이루는 구간 -1≤x≤4에서 넓이를 구하여라.

교점은 x=-1, 2, 4이다. 따라서 부호는 [-1,2]에서 양수, [2,4]에서 음수로 바뀐다. 학생의 오답은 다음과 같다.

오답: S=∫_-1⁴f(x)dx=125/12

이 식은 넓이가 아니라 부호를 포함한 정적분이다. [2,4]에서 함수값이 음수이므로 해당 구간의 적분값을 그대로 더하면 아래쪽 넓이가 음수로 상쇄된다.

교점 좌표와 부호표로 식을 수정하기

• 틀린 줄에 표시: ∫_-1⁴f(x)dx
• 교점 확인: f(-1)=f(2)=f(4)=0
• 부호 확인: f(0)=8>0, f(3)=-4<0
• 식 수정: S=∫_-1²f(x)dx-∫₂⁴f(x)dx

f(x)=x³-5x²+2x+8이고 원시함수는 F(x)=x⁴/4-5x³/3+x²+8x이다.

F(-1)=-61/12, F(2)=32/3, F(4)=16/3이므로

S=(F(2)-F(-1))+(F(2)-F(4))=63/4+16/3=253/12

계산 후에는 각 구간의 넓이가 양수인지 확인하고, 원래 정적분은 125/12임을 다시 계산해 넓이와 부호 있는 적분을 구별했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 절차를 함수와 구간을 바꿔 적용했다.

g(x)=(x+2)(x-1)(x-3)에서 -2≤x≤4일 때 x축과의 넓이를 구하여라.

교점은 -2,1,3이고 부호는 양수, 음수, 양수로 두 번 바뀐다.

G(x)=x⁴/4-2x³/3-5x²/2+6x라 하면

S=[G(1)-G(-2)]+[G(1)-G(3)]+[G(4)-G(3)]

=63/4+16/3+91/12=86/3이다. 학생은 구간을 하나로 합치지 않고, 교점·부호·절댓값 처리를 새 조건에서도 처음부터 재현했다.