신원동고2수학과외: 특수각의 값보다 먼저 확인할 사분면 부호
신원동의 신원고등학교 학생들은 신원마을3단지·4단지에서 학교나 학원으로 이동하는 시간에 차이가 있어, 짧은 풀이에서도 계산 근거를 남기는 습관이 중요하다. 삼각함수의 특수각 문제는 값을 외우는 것보다 각의 위치와 부호를 계산 줄에 드러내야 오답 원인을 찾을 수 있다.
sin(5π/6)을 sin(π/6)과 같다고 쓴 순간
다음 식을 계산한다고 하자.
sin(5π/6)
5π/6은 제2사분면의 각이다. 기준각은
π − 5π/6 = π/6
이므로 크기는 sin(π/6)=1/2와 같다. 그러나 제2사분면에서 사인은 양수이므로
sin(5π/6)=sin(π/6)=1/2
가 된다.
문제는 결과가 우연히 맞더라도 근거 없이 “sin(5π/6)=sin(π/6)”이라고 바로 적는 풀이이다. 같은 방식으로 cos(5π/6)을 계산하면 부호가 달라진다.
cos(5π/6)=−cos(π/6)=−√3/2
따라서 특수각의 숫자만 대입하면 사인의 부호를 놓치거나, 코사인에도 같은 부호를 적용하는 오류가 생긴다.
처음 어긋난 기호를 계산 줄에서 찾기
예를 들어 학생이 다음과 같이 썼다고 하자.
cos(5π/6)=cos(π/6)=√3/2
처음 잘못된 부분은 특수각의 크기 √3/2가 아니라 제2사분면의 부호를 빠뜨린 등호이다. 5π/6은 제2사분면이고, 코사인은 그곳에서 음수이므로 바로 아래에 다음 중간식을 다시 쓴다.
5π/6=π−π/6, cos(π−θ)=−cos θ
cos(5π/6)=−cos(π/6)=−√3/2
이처럼 첫 번째로 달라진 기호에 표시하면 마지막 답만 고치는 것보다 오류의 원인을 정확히 확인할 수 있다. 사인과 코사인의 부호는 각각 사분면에서 판단해야 하며, 특수각 표의 양수 값만 그대로 옮겨 적어서는 안 된다.
분수와 정수가 섞여도 사분면 판단을 유지하는가
다음 식으로 풀이 기준을 확인한다.
2sin(7π/6)−3cos(11π/6)
먼저 각의 위치를 적는다.
7π/6=π+π/6이므로 제3사분면, 11π/6=2π−π/6이므로 제4사분면이다.
따라서
sin(7π/6)=−1/2
cos(11π/6)=cos(π/6)=√3/2
이고, 원래 식은
2(−1/2)−3(√3/2)=−1−3√3/2
이다. 계수 2와 3을 먼저 계산하지 않고, 각 함수값의 부호와 값을 각각 확인한 뒤 대입해야 한다.
이 문제에서 학생이 7π/6을 제1사분면의 π/6처럼 처리해 sin(7π/6)=1/2로 쓰면, 첫 번째 오류는 계수 계산이 아니라 사분면 부호를 생략한 줄에서 발생한다. 그 줄에 표시하고 “제3사분면에서 사인은 음수”라는 판단을 옆에 남겨야 한다.