신원동고1수학과외: 전체 약수에서 조건에 맞지 않는 경우 제거하기
신원고등학교 프린트에서 다음 문제가 나왔다고 하자.
360의 양의 약수 중 12의 배수가 아닌 약수의 개수를 구하여라.
이 문제의 중심은 처음부터 조건을 만족하는 약수만 찾는 데 있지 않다. 먼저 가능한 약수 전체를 세고, 그중 12의 배수인 경우를 제외해야 한다. 풀이를 시작하기 전 답안 위에 “전체 경우를 구한 뒤 조건에 맞지 않는 경우를 제거”라고 적어 두면 풀이 방향이 흔들리지 않는다.
360의 약수 전체를 세는 기준
360을 소인수분해하면
360 = 23 × 32 × 5
360의 약수는 2의 지수, 3의 지수, 5의 지수를 각각 선택하여 만들 수 있다. 따라서 전체 약수의 수는
(3+1)(2+1)(1+1) = 24
이다. 여기서 2의 지수는 0, 1, 2, 3 중 하나이고, 3의 지수는 0, 1, 2 중 하나이며, 5의 지수는 0, 1 중 하나이다.
조건을 적용할 때 빠진 경우
12는 22×3이므로 약수가 12의 배수가 되려면 2의 지수가 2 이상이고 3의 지수가 1 이상이어야 한다. 2의 지수는 2 또는 3, 3의 지수는 1 또는 2로 정해진다. 5의 지수는 여전히 0 또는 1이므로 12의 배수인 약수는
2×2×2 = 8
개이다. 그러므로 조건에 맞지 않아 제거할 경우는 8개이고, 구하는 약수의 개수는
24 - 8 = 16
이다.
실제 답안에서는 조건을 적용한 뒤에도 8을 그대로 남겨 두고 “24개”라고 적은 장면이 있었다. 또 다른 줄에서는 12의 배수 조건을 2의 지수가 2 이상인 경우로만 해석하여 2×3×2=12를 제거하기도 했다. 이 계산은 3의 지수가 적어도 1이어야 한다는 조건을 빠뜨린 것이다.
풀이 줄 사이에 판단을 남기는 연습
이 오류를 고칠 때는 계산만 다시 하지 않는다. 첫 줄에 전체 경우를 기록하고, 조건을 만족하지 않아 제거할 경우를 별도로 표시한다.
- 전체 약수: (3+1)(2+1)(1+1)=24
- 12의 배수: 2의 지수 2가지, 3의 지수 2가지, 5의 지수 2가지이므로 8
- 12의 배수가 아닌 약수: 24-8=16
틀린 줄을 고친 뒤에도 같은 문장을 다시 확인한다. 풀이 전에는 방향을 정하고, 풀이 후에는 실제로 조건에 맞지 않는 8개를 제거했는지 점검하는 방식이다. 이 두 번의 표시가 있어야 전체 수를 구한 뒤 제거하는 판단이 계산 속에 남는다.
소인수 지수를 다시 곱어 보는 검산
전체 약수의 수 24가 맞는지 확인하려면 지수 선택을 실제 약수 구성으로 되돌려 볼 수 있다. 2의 지수 선택 수 4, 3의 지수 선택 수 3, 5의 지수 선택 수 2를 곱하면 24가 된다. 조건에 맞지 않는 8개도 지수 범위를 다시 곱하면
(2의 지수 2가지)×(3의 지수 2가지)×(5의 지수 2가지)=8
이다. 예를 들어 제거되는 약수는 12, 24, 36, 60, 72, 120, 180, 360처럼 2의 지수가 적어도 2이고 3의 지수가 적어도 1인 수들이다. 소인수분해 결과를 역으로 곱어 보면서 2의 지수나 3의 지수를 빠뜨리지 않았는지 확인할 수 있다.
신원동 생활 리듬에 맞춘 재확인
신원마을3단지나 신원마을4단지에서 신원고등학교까지 이동하는 시간과 귀가 후 확보되는 시간이 학생마다 다르므로, 학교 프린트를 바로 복습하는 학생과 주말에 오답을 다시 보는 학생의 확인 시점은 달라도 된다. 다만 일주일 뒤 같은 오답을 꺼냈을 때 숫자만 외워 24-8을 반복하는지는 보지 않는다.
대신 24×3×5의 약수 중 10의 배수가 아닌 약수의 개수를 새로 제시한다. 전체 약수는 (4+1)(1+1)(1+1)=20개이다. 10=2×5이므로 10의 배수인 경우는 2의 지수 4가지, 3의 지수 2가지, 5의 지수 1가지로 8개이다. 따라서 답은 20-8=12개이다. 이때 학생이 풀이 전후에 전체 경우와 제거할 경우를 스스로 표시하고, 소인수 지수를 다시 곱어 검산한다면 새로운 수에서도 학습한 순서가 유지된 것으로 판단할 수 있다.