신원동 고3수학과외, 대칭 정적분에서 첫 오류 찾기
신원마을3단지와 신원마을4단지처럼 생활권 안에서도 학교와 주거지 사이 이동 시간이 달라, 이 학생은 짧은 복습 시간에 풀이의 첫 오류를 분류하는 연습이 필요했다. 신원고등학교를 중심으로 공부하되, 덕양구의 화수고등학교·백양고등학교·성사고등학교·능곡고등학교는 참고 학교로 구분해 생활 리듬을 따로 살폈다.
짝함수 판정에서 멈춘 지점
학생은 다음 정적분을 풀었다.
\(\displaystyle I=\int_{-2}^{2}(x^3+2x^2-1)\,dx\)
풀이 중 다음 줄을 작성했다.
\(f(-x)=f(x)\) 이므로 \(f(x)=x^3+2x^2-1\)은 짝함수이다.
\(\therefore I=2\int_0^2(x^3+2x^2-1)\,dx\)
이 식은 오답이다. \(f(-x)=-x^3+2x^2-1\)이므로 \(f(-x)=f(x)\)가 아니다. \(x^3\)은 홀함수, \(2x^2-1\)은 짝함수이므로 전체 함수는 짝함수도 홀함수도 아니다.
그래프와 식을 함께 맞추는 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 항을 홀함수와 짝함수로 나누었다.
- 홀함수 부분: \(x^3\), 따라서 \(\displaystyle \int_{-2}^{2}x^3dx=0\)
- 짝함수 부분: \(2x^2-1\), 따라서 \(\displaystyle \int_{-2}^{2}(2x^2-1)dx=2\int_0^2(2x^2-1)dx\)
그러므로
\[ I=0+2\left[\frac{2}{3}x^3-x\right]_0^2 =2\left(\frac{16}{3}-2\right) =\frac{20}{3} \]
수정 후에는 원래 식에 다시 대입해 원시함수로도 확인했다.
\[ \left[\frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3-x\right]_{-2}^{2} =\frac{20}{3} \]
이제 대칭성, 부호, 상하한 중 무엇이 문제였는지 네모칸에 “함수 전체를 짝함수로 판정한 것이 첫 오류”라고 기록하고 다음 문제로 넘어간다.
대칭 구간을 없앤 독립 검증
같은 절차를 반복하지 않도록 다음 문제에서는 대칭 구간을 제거했다.
\(\displaystyle J=\int_{-1}^{3}(x^3-3x+2)\,dx\)
\([-1,3]\)은 원점 대칭 구간이 아니므로 홀함수 항을 임의로 없앨 수 없다. 원시함수로 계산하면
\[ J=\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}x^2+2x\right]_{-1}^{3} =\frac{51}{4}-\left(-\frac{13}{4}\right) =16 \]
이번에는 구간의 대칭 여부와 함수의 부호·상하한을 먼저 확인한 뒤 계산하여, 짝함수와 홀함수 성질을 뒤집어 쓰는 오류가 재발하지 않는지 검증했다.