성사동고2수학과외, 주기를 먼저 표시해야 그래프의 범위가 보인다
“\(y=\sin x\)의 한 주기는 \(0\)부터 \(\pi\)까지입니다.”
성사고등학교와 덕양구 내 화수고등학교·백양고등학교·신원고등학교·능곡고등학교 등으로 통학하며 과제와 시험 범위를 나누어 공부할 때, 삼각함수 그래프 문제에서 식을 바로 그리려다 주기와 진폭을 놓치는 경우가 있다. 특히 이동 시간이 있는 날에는 여백에 핵심 수치를 적지 않고 기억만으로 그래프를 완성하려는 풀이가 나타난다.
sin 그래프의 한 주기는 왜 π가 아닌 2π인가
기본 함수 \(y=\sin x\)는
\[ \sin(x+2\pi)=\sin x \]
를 만족하므로 주기는 \(2\pi\)이다. \(0\le x\le2\pi\)에서 그래프는
\[ (0,0),\quad \left(\frac{\pi}{2},1\right),\quad (\pi,0),\quad \left(\frac{3\pi}{2},-1\right),\quad (2\pi,0) \]
를 지나며 한 번의 물결을 완성한다. \(0\)부터 \(\pi\)까지만 보면 양의 부분만 나타나므로 전체 한 주기가 아니다. 학생이 적은 \(0\sim\pi\)는 그래프의 절반에 해당하며, \(x=\frac{3\pi}{2}\)에서 나타나는 최솟값 \(-1\)을 빠뜨리게 된다.
식에서 진폭과 주기를 여백에 분리하기
일반적인 형태
\[ y=a\sin bx,\qquad y=a\cos bx \]
에서 진폭은 \(|a|\), 주기는
\[ T=\frac{2\pi}{|b|} \]
이다. 예를 들어
\[ y=2\sin 3x \]
에서는 여백에 먼저
\[ \text{진폭}=2,\qquad T=\frac{2\pi}{3} \]
이라고 적는다. 따라서 \(0\le x\le\frac{2\pi}{3}\)에서 한 주기가 끝나고, 최댓값은 \(2\), 최솟값은 \(-2\)이다. \(b=3\)을 진폭으로 읽거나 \(2\pi\)를 그대로 주기로 사용하면 그래프의 가로 길이와 세로 높이가 모두 달라진다.
주기만으로 끝내지 않고 성립 범위를 확인하기
\(y=-\cos 2x+1\)을 \(0\le x\le\pi\)에서 그린다고 하자. 이때
\[ \text{진폭}=1,\qquad T=\frac{2\pi}{2}=\pi \]
이므로 주어진 구간 전체가 정확히 한 주기이다. 또 \(-\cos2x\)의 값은 \([-1,1]\)이므로 함수값의 범위는
\[ 0\le y\le2 \]
이다. 주기와 진폭을 표시하면 그래프가 \(y=0\) 아래로 내려가지 않는다는 점도 함께 확인할 수 있다.
조건을 바꾼 뒤에도 같은 판단이 남아 있는지
다음 문제에서는 계수와 구간을 바꾼다.
\[ y=3\cos\left(\frac{x}{2}\right),\qquad 0\le x\le4\pi \]
풀이 첫 줄에
\[ \text{진폭}=3,\qquad T=\frac{2\pi}{1/2}=4\pi \]
를 적어야 한다. 따라서 주어진 구간은 한 주기이며, \(x=0\)에서 \(y=3\), \(x=2\pi\)에서 \(y=-3\), \(x=4\pi\)에서 \(y=3\)이 된다. 숫자가 바뀌어도 계수의 절댓값은 세로 크기, \(x\)의 계수는 가로 주기를 결정한다는 관계를 말로 설명한 뒤 식과 그래프가 일치하는지 확인하면 된다.
이처럼 새로운 문제에서 바로 그래프를 그리지 않고 진폭·주기·구간을 먼저 적었다면, 주기를 절반으로 잡는 오류가 수정된 것으로 판단할 수 있다.