성사동고1수학과외, 순서에 따라 달라지는 선택 구별하기
성사고등학교 등교와 과제, 시험 준비가 겹치는 시기에는 경우의 수 문제를 짧은 시간 안에 풀게 된다. 이때 공식부터 고르면 같은 숫자를 사용해도 답이 달라진다. 성사동고1수학과외에서는 먼저 선택 결과에서 역할이나 자리가 바뀌었을 때 새로운 경우가 되는지 판단하는 연습을 중심에 둔다.
두 명을 뽑는 것과 두 자리에 배치하는 것은 다르다
예를 들어 5명의 학생 A, B, C, D, E 중에서 대표 2명을 뽑는다면 A와 B를 고른 결과는 B와 A를 고른 결과와 같다. 역할이 없으므로 순서가 중요하지 않고, 경우의 수는
5C2 = 5×4÷2 = 10
이다. 반면 회장과 부회장을 각각 정한다면 A가 회장이고 B가 부회장인 경우와 B가 회장이고 A가 부회장인 경우는 서로 다르다. 이때는 순서가 있는 선택이므로
5P2 = 5×4 = 20
으로 계산한다. 숫자 5와 2가 같아도 ‘대표 두 명’인지 ‘회장과 부회장’인지에 따라 식이 달라지는 이유가 여기에 있다.
답안에 드러나지 않은 판단이 오답으로 이어진 장면
학교 프린트에서 6명의 학생 중 발표자 1명과 기록자 1명을 정하는 문제를 풀 때, 학생은 역할을 표시하지 않은 채 6C2 = 15라고 적었다. 발표자 민서, 기록자 준호와 발표자 준호, 기록자 민서는 같은 두 사람을 뽑은 것이 아니라 역할이 서로 바뀐 다른 결과다.
따라서 이 문제는 조합이 아니라 순열로 처리해야 한다.
6P2 = 6×5 = 30
학생이 틀린 지점은 계산 과정이 아니라 선택의 성격을 정하지 않은 데 있다. 풀이 시작 전에 역할, 자리, 순번 중 하나라도 결과를 바꾸는지 확인하지 않으면 조합 기호를 습관적으로 선택하게 된다.
순서를 바꾼 두 결과를 직접 비교하기
판단을 고칠 때는 문제의 사람이나 물건을 실제 결과로 바꾸어 적는다. 4명 중에서 2명을 뽑아 앞자리와 뒷자리에 앉히는 경우라면 ‘가-나’와 ‘나-가’를 나란히 놓는다. 앞자리가 가, 뒷자리가 나인 경우와 앞자리가 나, 뒷자리가 가인 경우는 자리의 주인이 달라지므로 서로 다른 경우다.
반대로 4명 중 청소 담당 2명을 정하는 문제에서는 가와 나를 고른 결과와 나와 가를 고른 결과에 역할 차이가 없다. 같은 선택을 두 번 세게 되므로 4P2가 아니라 4C2 = 6을 사용한다.
풀이 여백에는 긴 설명 대신 “순서가 바뀌면 다른 결과인가?”라고 적고, 문제에 맞게 ‘예’ 또는 ‘아니오’를 결정한다. 예라면 순열, 아니오라면 조합으로 연결한다. 정답을 맞혔더라도 이 판단 표시가 없으면 공식 선택의 근거가 확인되지 않은 것으로 본다.
숫자를 모두 쓰지 않고 필요한 관계만 골라내기
새로운 문제에서 7명의 지원자 중 3명을 뽑아 1번, 2번, 3번 발표 순서를 정한다고 하자. 필요한 정보는 지원자 수 7명, 선택할 사람 수 3명, 발표 순서가 있다는 조건이다. 따라서 식은
7P3 = 7×6×5 = 210
이 된다. 문제에 적힌 지원자의 이름이나 발표 주제의 개수처럼 구하는 경우의 수와 관계없는 정보까지 식에 넣지 않는다. 반대로 ‘3명을 뽑는다’는 말만 보고 7C3을 쓰면 발표 순서라는 조건을 놓친 것이다.
변형 문제에서 판단 행동을 다시 확인하기
앞의 유형을 익힌 뒤에는 숫자만 바뀐 문제를 풀되, 정답보다 먼저 조건과 결과를 연결하는지 살핀다. 8명이 결승 진출자 2명을 뽑고, 그중 금상과 은상을 정하는 문제라면 단순히 2명을 고르는 것이 아니라 두 상의 주인을 정하는 과정이다. 두 상을 받는 사람은 달라야 하므로
8P2 = 8×7 = 56
이다. 학생이 식을 쓰기 전에 ‘금상과 은상이 바뀌면 다른 결과’라고 판단하고, 그에 맞는 순열을 선택했다면 이전 훈련이 새로운 조건에서도 유지된 것이다. 반대로 숫자만 바꿔 계산했거나 조합식을 쓴 뒤 답만 수정했다면 순서 판단을 다시 복습 목록에 남긴다.
성사동에서 통학 후 확보된 짧은 시간에 경우의 수를 복습할 때도 문제를 많이 푸는 것보다 선택 결과가 바뀌는 조건을 식으로 옮겼는지 확인하는 편이 효과적이다. 성사고등학교와 덕양구 내 참고 학교의 프린트를 함께 공부하더라도 학교별 출제 경향을 단정하기보다, 각 문제에서 역할·자리·순번의 유무를 먼저 판별하는 습관을 유지해야 한다.