성사동고3수학과외

성사동 고3수학과외에서 넓이의 부호를 바로잡은 풀이

성사동의 성사고등학교처럼 중학교보다 이동과 과제, 시험 준비가 함께 늘어나는 고등학교 생활에서는 짧은 계산보다 문제의 조건을 먼저 분리하는 습관이 중요하다. 같은 덕양구의 화수고등학교, 백양고등학교, 신원고등학교, 능곡고등학교는 참고할 수 있는 인근 학교이지만 성사동 소재 학교로 혼동하지 않도록 구분했다.

정적분값과 넓이를 같은 것으로 본 오답

학생은 다음 함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 넓이를 구하면서 계산을 빠르게 끝내려 했다.

f(x)=(9/4)(x²-1),   -2≤x≤2

교점은

(9/4)(x²-1)=0에서 x=-1, 1이다. 따라서 [-1,1]에서는 함수가 x축 아래에 있다. 그런데 학생은 다음과 같이 적었다.

∫_-1¹ (9/4)(x²-1)dx = -3
따라서 넓이도 -3

계산값 -3 자체는 정적분값으로 맞지만, 넓이는 길이와 마찬가지로 음수가 될 수 없다. x축 아래에서 정적분값이 음수가 되는 이유는 함수값이 음수이기 때문이며, 실제 넓이는 그 반대 부호인 3이다. 학생의 마지막 식인 ‘넓이=-3’은 틀린 결론이다.

교점과 부호를 확인한 뒤 식을 수정하다

• 틀린 줄 표시: 넓이 = ∫_-1¹f(x)dx = -3
• 조건 확인: -1<x<1에서는 x²-1<0이므로 f(x)<0
• 식 수정: 넓이 = -∫_-1¹(9/4)(x²-1)dx
• 계산: ∫(9/4)(x²-1)dx = (3/4)x³-(9/4)x

따라서

∫_-1¹f(x)dx = [(3/4)x³-(9/4)x]_-1¹ = -3

이므로 x축 아래 넓이는

-(-3)=3

학생은 수정한 값 3을 원래 정적분값의 절댓값과 비교하고, 그래프에서 [-1,1] 구간이 아래쪽에 놓이는지도 확인했다. 또한 전체 구간 [-2,2]를 한 번에 적분하면 부호가 섞일 수 있으므로 교점 기준으로 구간을 나누어야 한다는 점을 기록했다.

교점이 늘어난 새 조건으로 검증

같은 풀이를 반복하지 않고 다음 문제를 새로 확인했다.

g(x)=2x²-8,   -3≤x≤3의 그래프와 x축 사이의 전체 넓이를 구한다.

교점은 2x²-8=0에서 x=-2, 2이다. [-2,2]에서는 g(x)≤0이고, 양쪽 구간 [-3,-2], [2,3]에서는 g(x)≥0이다.

아래쪽 넓이는

-∫_-2²(2x²-8)dx = 64/3

위쪽 넓이는 대칭성을 이용해

2∫₂³(2x²-8)dx = 2×14/3 = 28/3

따라서 전체 넓이는

64/3+28/3=92/3

학생은 이번에는 정적분값의 부호를 먼저 적지 않고, 교점·구간·함수의 부호를 표로 확인한 뒤 넓이를 계산했다. 마지막으로 아래쪽 넓이와 위쪽 넓이를 모두 양수로 더해 전체 넓이가 92/3인지 검산했다.