동산동고2수학과외, 삼각함수 그래프에서 주기를 놓치지 않는 풀이
동산마을21단지와 동산마을24단지처럼 통학과 과제가 함께 늘어나는 생활권에서는 짧은 풀이 흔적만 남기고 넘어가기 쉽다. 삼각함수 그래프에서는 그 한 줄이 정답을 바꾼다. 특히 y=sin x의 한 주기를 잘못 잡으면 이후의 영점과 최댓값 위치까지 연달아 어긋난다.
“한 주기: 0부터 π”라고 적은 계산 줄
그래프를 그리던 풀이에 다음과 같은 기록이 남아 있었다.
y=sin x의 한 주기: 0≤x≤π
이 판단으로 (0,0), (π/2,1), (π,0)만 표시해 한 번의 물결을 완성했지만, 이는 한 주기가 아니라 사인 그래프가 양수인 구간만 나타낸 것이다. sin x는
sin(x+2π)=sin x
를 만족하므로 기본 주기는 2π이다. 따라서 한 주기를 확인하려면
0≤x≤2π
로 잡고 다음 네 점까지 연결해야 한다.
(0,0) → (π/2,1) → (π,0) → (3π/2,-1) → (2π,0)
그래프보다 먼저 주기와 기준 구간을 적는다
예를 들어 y=sin x의 그래프에서 0≤x≤4π를 그리라는 문제라면, 먼저 주기와 반복 횟수를 계산한다.
주기=2π, 전체 구간 길이=4π
반복 횟수=4π÷2π=2
첫 번째 주기의 기준점을 적은 뒤, 같은 모양을 2π만큼 오른쪽으로 옮긴다. 0≤x≤2π에서 음의 최솟값 -1이 x=3π/2에 나타나고, 두 번째 주기에서는 x=7π/2에 나타난다. 0≤x≤π만 사용하면 이 최솟값을 기록할 수 없으므로 그래프의 진폭 문제가 아니라 주기 판단의 오류가 된다.
y=cos x도 기본 주기는 2π이다. 다만 시작점이 (0,1)이고 기준점은
(0,1), (π/2,0), (π,-1), (3π/2,0), (2π,1)
처럼 달라진다. 사인과 코사인의 모양을 구분하더라도 주기 자체를 π로 줄여 쓰면 안 된다.
조건을 바꾼 검산: 불가능한 높이도 제거하기
새로운 문제로 y=cos x와 직선 y=2의 교점 개수를 묻는다면, 그래프를 그리기 전에 코사인의 값 범위를 확인한다.
-1≤cos x≤1
따라서 cos x=2는 실수 x에서 성립하지 않으며 교점은 0개이다. 이때도 주기를 억지로 반복해 교점을 표시하지 않고, 함수값의 범위에서 불가능한 값을 먼저 제거해야 한다. 주기와 범위 조건을 함께 적었는지가 새로운 그래프 문제에서 확인할 기준이다.