교점에서 멈추지 말고 넓이의 부호를 나누는 연습
동산동에서 고양동산고등학교로 통학하며 과제와 시험을 함께 준비하는 고3 학생은 풀이를 빨리 끝내려는 과정에서 교점 확인을 생략하는 실수가 반복됐다. 동산마을21단지와 동산마을24단지 생활권처럼 이동 시간이 일정하지 않은 환경에서는 짧은 시간에도 오답의 첫 줄을 정확히 찾아 고치는 연습이 필요하다. 같은 덕양구의 화수고등학교, 백양고등학교, 신원고등학교, 성사고등학교는 참고 학교이며 동산동 소재 학교와는 구분된다.
전체 구간을 적분한 순간 생긴 오류
문제에서 곡선 \(y=x^3-4x\)와 \(x\)축이 이루는 구간 \([-2,2]\)의 넓이를 구하자 학생은 다음처럼 계산했다.
\(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\)
\(\displaystyle \int_{-2}^{2}(x^3-4x)\,dx=0\)
따라서 넓이는 \(0\)이다.
이 답은 오답이다. 적분값 \(0\)은 넓이가 아니라 \(x\)축 위쪽의 signed area와 아래쪽의 signed area가 서로 상쇄된 결과다. 학생이 교점을 구했으면서도 \(x=-2,0,2\)에서 구간을 나누지 않고 전체를 한 번에 적분한 것이 최초 실패 지점이다.
부호표로 구간을 먼저 분할하기
두 줄 비교표를 만들어 원식과 변형식을 맞춰 보게 했다.
- 원식: \(f(x)=x^3-4x\)
- 인수분해: \(f(x)=x(x-2)(x+2)\)
- 교점: \(x=-2,0,2\)
- 부호: \([-2,0]\)에서는 \(f(x)\ge0\), \([0,2]\)에서는 \(f(x)\le0\)
따라서 넓이는 함수값의 부호를 반영해 다음처럼 고쳐야 한다.
\[ A=\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx-\int_{0}^{2}(x^3-4x)\,dx \]
\[ \int (x^3-4x)\,dx=\frac{x^4}{4}-2x^2 \]
\[ \int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=4,\qquad -\int_{0}^{2}(x^3-4x)\,dx=4 \]
\[ \therefore A=4+4=8 \]
마지막에는 원시함수 \(F(x)=\frac{x^4}{4}-2x^2\)를 미분해 \(F'(x)=x^3-4x\)인지 확인했다. 또한 \(x=1\)을 대입하면 \(f(1)=-3\), \(x=-1\)을 대입하면 \(f(-1)=3\)이므로 부호가 구간별로 달라진다는 사실도 역검산했다.
조건을 바꾼 독립 검증
직전 문제를 보지 않고 다음 문제를 새로 풀게 했다.
곡선 \(y=x^2-3x\), \(x\)축, 직선 \(x=4\)로 둘러싸인 넓이를 구한다.
- 교점: \(x^2-3x=x(x-3)=0\)에서 \(x=0,3\)
- \(0
- \(3
\[ A=-\int_{0}^{3}(x^2-3x)\,dx+\int_{3}^{4}(x^2-3x)\,dx \]
\[ A=\frac{9}{2}+\frac{11}{6}=\frac{19}{3} \]
이번에는 교점, 부호 변화, 구간 분할을 먼저 기록한 뒤 계산했다. 마지막으로 \(x=1\)에서 함수값이 \(-2\), \(x=4\)에서 \(4\)임을 대입해 넓이식의 부호가 올바른지 확인했다.