동산동고1수학과외: nPr의 ‘선택 후 배열’을 한 식으로 묶기
고양동산고등학교의 학교 프린트와 과제를 통학 후 짧은 시간에 처리할 때, 숫자만 바꾸어 이전 예제를 재현하는 방식으로는 순열의 구조를 놓치기 쉽다. 특히 nPr에서 r개를 뽑아 배열하는 두 단계를 하나의 식으로 이해하는 것이 현재 확인해야 할 판단이다.
계산은 맞아 보여도 빠져 있는 한 줄
프린트에 다음 문제가 제시되었다고 하자.
6명 중 3명을 뽑아 회장, 부회장, 서기를 정하는 방법의 수를 구하여라.
학생은 앞의 예제 숫자만 바꾸어 다음처럼 적었다.
6P3 = 6 × 5 × 4 = 120
이 계산의 값은 맞다. 그러나 답안에는 왜 세 자리를 차례로 채우는지, 또는 ‘6명 중 3명을 뽑아 배열한다’는 구조를 확인한 표시가 없었다. 오답표에도 해당 판단 단계가 빠져 있어, 새 숫자가 등장하면 공식의 의미보다 이전 계산 모양을 먼저 복사하는 상태가 드러난다.
nPr 안에는 선택과 배열이 따로 있지만 식은 하나다
6명 중 3명을 먼저 고르는 방법은 6C3이고, 뽑힌 3명을 세 직책에 배치하는 방법은 3!이다. 따라서 두 과정을 연결하면
6C3 × 3! = 20 × 6 = 120
이 식은 순열 공식과 같은 값이다.
6C3 × 3! = 6! ÷ (3!3!) × 3! = 6! ÷ 3! = 6P3
일반적으로 n개 중 r개를 뽑아 순서를 정하는 과정은
nCr × r! = n! ÷ (n-r)! = nPr
로 한 식에 나타낸다. 여기서 r은 선택한 대상의 수이면서 동시에 배열할 자리의 수다. 이 두 역할이 연결되지 않으면 6C3만 계산해 직책의 순서를 빠뜨리거나, 6×5×4를 적고도 그 이유를 설명하지 못한다.
빠진 표시가 있는 줄에서 풀이를 다시 시작하기
수정할 때는 답 전체를 지우지 않고, 오답표에서 빠진 위치를 먼저 표시한다. ‘3명을 선택한 뒤 3개의 서로 다른 직책에 배열한다’는 문장을 계산식 바로 앞에 적는다.
- 선택과 배열이 함께 있는가: 6P3
- 첫 번째, 두 번째, 세 번째 자리에 들어갈 수: 6, 5, 4
- 따라서: 6P3 = 6 × 5 × 4 = 120
시간이 부족하면 이 설명을 길게 늘이지 않고 해당 표시와 식을 남긴 뒤 다음 문제로 넘어간다. 다만 나중에 복귀했을 때 nPr = n!/(n-r)!에서 n과 r의 의미를 다시 대조한다. 보류는 풀이를 포기하는 것이 아니라, 누락된 판단이 표시된 지점으로 돌아오기 위한 기준을 세우는 것이다.
부호를 바꾼 계산에서 식의 형태를 지키는지 확인하기
새 문제로 7명 중 4명을 뽑아 순서를 정하는 경우를 확인한다. 학생이 연산 기호를 잘못 바꾸어
7P4 = 7 × 6 - 5 - 4 = -1
이라고 적었다면, 이는 순열 계산에서 곱셈을 이어 가야 하는 구조를 놓친 오류다. 정확한 계산은
7P4 = 7 × 6 × 5 × 4 = 840
이며, 공식으로도
7! ÷ (7-4)! = 7! ÷ 3! = 840
이다. 부호를 반대로 바꾼 계산을 제시했을 때에는 결과만 고치지 않고, 각 자리의 선택 수가 왜 곱해지는지 학생이 직접 말하고 다시 써야 한다.
선행 계산보다 현재 식의 판단을 먼저 점검할 때
중학교 문자식이나 방정식 계산이 흔들려 팩토리얼의 약분에서 막히더라도, 이 문제를 곧바로 중학교 전 범위 복습으로 돌리지는 않는다. 먼저 7! ÷ 3! = (7×6×5×4×3×2×1) ÷ (3×2×1)에서 약분되는 부분을 표시하게 한다. 필요한 선수 확인은 이 정도의 곱셈과 약분에 한정한다.
동산마을21단지나 동산마을24단지에서 귀가한 뒤 과제 시간이 짧은 날에도, 계산을 무작정 이어 가기보다 누락된 ‘선택 후 배열’ 표시를 남겼는지부터 확인한다. 같은 덕양구의 화수고등학교, 백양고등학교, 신원고등학교, 성사고등학교는 참고 학교일 뿐 동산동 소재 학교로 구분해야 하며, 학교가 달라도 이 수학적 확인 절차는 문제 조건에 따라 적용된다.
숫자를 바꾸고 질문을 바꾼 검증
마지막에는 같은 6P3을 반복하지 않고 다음 문제를 제시한다.
8명 중 5명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수를 구하여라.
학생이 먼저 8명 중 5명을 선택하고, 선택된 5명을 배열한다고 표시한 뒤
8P5 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 = 6720
또는
8C5 × 5! = 56 × 120 = 6720
을 스스로 선택해 적는지 본다. 시간이 부족한 상황을 함께 주고, 한 문제를 보류한 뒤 복귀할 때 표시한 누락 단계부터 다시 시작하는지도 확인한다. 숫자 변경, 계산 부호 점검, 선택과 배열의 연결 표시가 모두 새 조건에서 재현될 때 비로소 공식의 모양이 아니라 nPr의 의미를 적용한 것으로 판단한다.