단원구고2수학과외

단원구 고2수학과외, 시그마에서 합 공식이 바뀌는 순간을 잡는 풀이

고잔동이나 선부동에서 학교 프린트와 과제를 이어서 풀다 보면, 수열 문제는 항을 구하는 계산보다 어떤 합 공식을 선택했는지가 더 큰 차이를 만든다. 특히 등차수열과 등비수열이 시그마 기호 안에 함께 제시되면, 학생이 계산 과정에서 공식을 잘못 끌어오는 장면이 분명하게 나타난다.

3·2^k-1을 등차수열로 읽은 계산

다음 합을 풀어 보자.

∑_k=1⁵ 3·2^k-1

항을 펼치면

3+6+12+24+48

이므로 공비가 2인 등비수열이다. 따라서

S₅=3×(2⁵-1)/(2-1)=3×31=93

그런데 답안에는 다음과 같은 식이 적혀 있었다.

S₅=5/2×(3+48)=127.5

첫째항과 마지막항을 사용한 형태 자체는 등차수열의 합 공식이지만, 이 항들은 일정한 차이가 아니라 일정한 비율로 변한다. 실제 항의 차이는 3, 6, 12, 24로 계속 달라지므로 등차수열 공식으로 계산할 수 없다. 이 오류는 합을 계산하는 줄에서 발생했지만, 원인은 그 전에 항의 변화 방식을 확인하지 않은 데 있다.

공식보다 먼저 항 사이의 관계를 표시하기

등차수열인지 등비수열인지 헷갈릴 때는 시그마를 바로 공식으로 바꾸지 않고 앞의 세 항을 적는다.

3·2^k-1 → 3, 6, 12

차이가 일정한지, 비가 일정한지를 구분하면 된다.

• 차가 일정하면 등차수열: S_n=n(첫째항+마지막항)/2
• 비가 일정하면 등비수열: S_n=a(rⁿ-1)/(r-1), r≠1

훈련 답안에는 공식만 쓰지 않고 다음 한 줄을 먼저 남긴다.

3, 6, 12 → 공비 r=2, 항의 개수 n=5

그 뒤 등비수열 합을 적용하면 공식 선택과 계산을 따로 점검할 수 있다. 반대로 ∑_k=1⁶(4k+1)을 만나면 항이 5, 9, 13, …이므로 공차가 4인 등차수열이다. 이때는

S₆=6/2×(5+29)=3×34=102

처럼 등차수열 합 공식을 사용한다. 시그마의 끝값 6은 항의 개수이기도 하지만, 식의 시작 인덱스가 달라지면 그대로 항의 개수로 볼 수 없으므로 인덱스 범위도 함께 확인해야 한다.

시작 인덱스가 바뀐 합에서 끝항을 직접 확인하기

검산 문제는 다음과 같이 바꾼다.

∑_k=2⁶ 3·2^k-1

이번에는 k=2부터 6까지이므로 항은

6+12+24+48+96

이다. 항의 개수는 5개이고 공비는 여전히 2이다.

S=6×(2⁵-1)/(2-1)=6×31=186

끝값 6을 빠뜨리거나 k=1의 항 3을 포함하면 다른 합이 된다. 따라서 새로운 시그마를 풀 때에는 답만 확인하지 않고, 시작 인덱스와 끝 인덱스를 실제 항으로 바꾸었는지, 차와 비 중 어느 관계가 일정한지, 그에 맞는 공식만 사용했는지를 풀이 줄에서 확인한다.

단원구의 학교 과제처럼 여러 유형이 연속해서 제시되는 상황에서도 이 순서를 남기면 등차·등비수열 합 공식이 뒤섞이는 오류를 계산 중간에서 찾아낼 수 있다.