정적분 넓이는 교점부터 확인하기
두 그래프 사이의 넓이를 구하는 문제에서 학생은 정적분 계산은 가능했지만 교점이 여러 개일 때 구간을 나누는 기준이 흔들렸다.
단순한 한 구간 넓이는 안정적이었으나 그래프의 대소관계가 바뀌면 익숙한 적분식을 전체 구간에 그대로 적용하는 경향이 있었다.
위·아래 함수를 먼저 정한 오답
모의평가형 문제에서 학생은 첫 구간만 보고 한 함수가 항상 위에 있다고 정했다. 두 번째 교점 이후 위치가 바뀌었는데도 적분식을 나누지 않아 일부 넓이가 음수로 상쇄됐다.
계산의 부호 오류가 아니라 교점을 모두 찾기 전에 위·아래 함수를 정한 것이 최초 오류였다.
구간을 나누고 부호를 검증하는 과정
두 함수값이 같아지는 지점을 먼저 찾고 각 교점 사이의 임의의 값을 대입해 위·아래 관계를 확인한 뒤 구간별 적분식을 세우게 했다.
교점을 모두 구한다.
교점 순서로 전체 구간을 나눈다. 각 구간에서 함수의 대소를 확인한다. 넓이는 양수로 합쳐지고 있는지 그래프와 대조한다.
조건을 바꾼 그래프에서 다시 적용하기
계수와 구간을 바꾼 새 문제에서도 학생은 적분부터 시작하지 않았다. 교점과 대소관계를 확인하고 구간별 식을 세운 뒤 계산값을 그림과 교차검증했다.
단원구고3수학과외 학습에서 중요한 변화는 적분 공식을 반복하는 것이 아니라 그래프의 위치가 바뀌는 지점을 먼저 찾아 넓이의 의미를 보존하는 데 있다.