단원구고1수학과외, 집합 연산을 원소 목록으로 검산하기
고잔동이나 선부동에서 학교와 과제 시간을 오가는 고1 학생에게는 짧은 풀이에서도 기호를 정확히 해석하는 습관이 필요하다. 집합의 합집합과 교집합은 기호만 계산하면 빠르게 지나갈 수 있지만, 실제 원소를 나열해 보면 중복과 누락을 바로 확인할 수 있다.
기호식 다음 줄을 비워 두지 않기
예를 들어 전체집합을 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 두 집합을 A={1,3,5,7}, B={2,3,6,7}로 두자. 다음 식의 값을 구한다.
A∪B는 A 또는 B에 속하는 원소를 모으므로
A∪B={1,2,3,5,6,7}
A∩B는 두 집합에 공통으로 들어 있는 원소만 남기므로
A∩B={3,7}
합집합에서는 3과 7을 두 번 적지 않고, 교집합에서는 한쪽에만 있는 1이나 6을 넣지 않는다. 기호식 바로 아래에 실제 원소 목록을 적으면 이 판단을 눈으로 검산할 수 있다.
풀이를 지우기 전에 멈춘 위치를 남긴다
관찰한 풀이에서는 집합 연산이 막힌 위치를 표시하지 않은 채 식 전체를 지우고 처음부터 다시 썼다. 풀이 시작 전에 ‘기호식으로 주어진 집합 연산을 실제 원소 목록으로 검산’한다고 적지 않았고, 기호식에서 원소 목록으로 바꾸는 단계도 생략했다. 따라서 어느 기호의 의미에서 멈췄는지 확인하기 어려운 상태였다.
예를 들어 A∪B={1,2,3,5,6,7}를 써야 하는데, 학생이 A∪B={1,2,3,3,5,6,7,7}처럼 중복 원소를 남겼다면 식 전체를 지우지 않는다. 합집합에서 같은 원소를 한 번만 적는다는 부분에 표시하고, 목록을 다시 정리한다.
연산 전후에 같은 검산 행동을 고정하기
풀이 전에는 먼저 문제의 집합을 실제 원소 목록으로 옮긴다. 이후 합집합이면 두 목록을 합치되 중복을 제거하고, 교집합이면 양쪽 목록에 모두 있는 원소만 표시한다. 계산을 끝낸 뒤에는 나온 답을 다시 각 집합과 비교한다.
위의 예에서 A∩B={3,7}을 얻었다면 3과 7이 A와 B에 모두 속하는지 확인한다. 반대로 1은 A에는 있지만 B에는 없으므로 교집합에 들어갈 수 없다. 이처럼 풀이 전·후에 원소 목록을 확인하는 행동을 같은 순서로 반복한다.
여집합에서는 전체집합을 먼저 펼친다
집합 연산의 기호가 달라지면 기준도 달라진다. 위의 전체집합에서 Ac를 구할 때는 U에서 A의 원소를 제외한다.
Ac={2,4,6,8}
여기서 전체집합 U를 쓰지 않고 A에 없는 수를 임의로 적으면 안 된다. 실제 목록 검산은 합집합과 교집합뿐 아니라 여집합에서도 기준 원소를 놓치지 않게 해 준다.
표로 바뀐 문제에서도 전체와 부분을 먼저 읽기
새 문제에서 집합이 원소 목록 대신 표로 제시될 수 있다. 예를 들어 표 제목이 ‘고1 학생의 방과 후 선택 활동’, 단위가 ‘명’이라고 적혀 있고, 전체 32명 중 축구 선택 학생이 14명, 농구 선택 학생이 11명, 두 활동을 모두 선택한 학생이 5명이라고 하자.
축구 또는 농구를 선택한 학생 수는 중복된 5명을 한 번만 세어 14+11-5=20명이다. 표의 단위가 명인지, 전체 인원과 부분 인원이 무엇인지 먼저 읽어야 집합의 합집합 관계를 정확히 세울 수 있다. 풀이 뒤에는 ‘축구 또는 농구에 속한 학생은 20명’이라고 한 문장으로 막힌 지점을 기록하게 하여, 다음에 어디서 판단이 흔들렸는지 남긴다.
답보다 원소 관계를 설명하는지 확인한다
시험 후 처음 보는 유사문제에서는 바로 답을 알려주지 않고 표나 그래프의 제목과 단위를 먼저 읽게 한다. 그다음 전체와 부분의 관계를 말하게 한 뒤, 집합 기호를 실제 원소 목록이나 인원 관계로 바꾸게 한다. 마지막에는 학생이 ‘교집합 원소를 찾는 단계에서 목록 대조를 생략했다’처럼 막힌 위치를 한 문장으로 기록하는지 확인한다.