와동고2수학과외

와동고2수학과외, 수학적 귀납법의 첫 단계에서 증명 누락 찾기

학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치고 평일 귀가 시간까지 제한되면, 수학적 귀납법 풀이도 계산 결과만 빠르게 고치기 쉽다. 와동의 안산강서고등학교와 한국디지털미디어고등학교를 비롯해 단원구 내 학교의 학습 일정에 맞춰 문제를 검토할 때는 마지막 값보다 명제가 시작하는 항을 먼저 확인해야 한다.

n=2부터인 명제를 n=1에 대입한 흔적

다음 명제를 생각해 보자.

명제 P(n): n² ≥ 2n은 모든 정수 n≥2에 대하여 성립한다.

학생의 답안에는 다음과 같은 흔적이 남았다.

n=1일 때, 1² ≥ 2이므로 성립하지 않는다.
따라서 마지막 계산에서 부등호를 고쳐야 한다.

이 판단은 두 곳에서 어긋난다. 명제가 n≥2에서만 요구되므로 첫 단계는 n=1이 아니라 n=2여야 한다. 또한 n=1을 대입한 결과가 거짓이라는 사실은 식의 마지막 값을 고칠 근거가 되지 않는다. 원래 명제의 시작 범위가 무엇인지부터 바로잡아야 한다.

첫 항을 바꾸는 대신 증명 범위를 보존하기

정확한 첫 단계는 다음과 같다.

n=2일 때

2²=4이고 2×2=4이므로
2²≥2×2가 성립한다.

이제 어떤 정수 k≥2에서 k²≥2k라고 가정하자. 그러면

(k+1)²=k²+2k+1≥2k+2k+1=4k+1.

k≥2이므로 4k+1≥2k+2이고, 따라서

(k+1)²≥2k+2=2(k+1)

이다. 첫 단계 P(2)와 다음 항으로의 연결이 모두 확인되었으므로 n≥2에서 명제가 성립한다.

계산 줄에서 누락된 증명을 표시하는 훈련

풀이를 고칠 때에는 마지막 부등호만 수정하지 말고, 답안 왼쪽에 다음 세 줄을 직접 적는다.

1. 명제의 시작값: n≥2
2. 첫 단계: P(2), 즉 4≥4
3. 연결 단계: P(k)에서 P(k+1)로 변환

특히 n=1을 넣어 1≥2가 거짓임을 확인했다면, “명제가 틀렸다”고 결론내리지 말고 “검사한 값이 명제의 범위 밖이다”라고 표시해야 한다. 이 과정을 거치면 첫 단계 확인과 귀납 가정을 한 줄의 계산으로 섞는 오류를 줄일 수 있다.

문자 대신 수 3으로 확인하는 변형 문제

다음 조건을 적용해 보자.

명제 Q(n): n²−n은 2의 배수이다. 단, n≥3.

n=1을 확인하면 1²−1=0이므로 결론 자체는 맞지만, 시작값 검사는 여전히 잘못된 위치에서 이루어진다. 올바른 첫 단계는 n=3이다.

3²−3=6이므로 2의 배수이다.

또한 n=3에서 성립한다고 가정하면

(k+1)²−(k+1)=k²−k+2k

이다. 가정한 k²−k가 2의 배수이고 2k도 2의 배수이므로 다음 항도 2의 배수다.

여기서 학생이 먼저 해야 할 일은 계산 결과를 고치는 것이 아니라, 주어진 시작값 n=3을 찾아 P(3)을 확인하는 것이다. 첫 단계, 귀납 가정, 다음 단계가 각각 남아 있는지 확인해야 증명이 완성된다.