와동고1수학과외: 조건과 결론을 p이면 q이다로 분리하기
고1 명제 문제에서는 식을 계산하기 전에 문장의 구조를 읽어야 한다. 안산강서고등학교나 한국디지털미디어고등학교의 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 시기에는 짧은 시간에 문제를 풀게 되므로, 조건을 읽자마자 계산으로 넘어가는 습관이 답안에 그대로 드러나기 쉽다.
계산보다 먼저 문장의 방향을 정한다
다음 문장을 보자.
정수 n이 6의 배수이면 n은 3의 배수이다.
여기서 조건은 p: n이 6의 배수이다, 결론은 q: n이 3의 배수이다이다. 따라서 문장은 다음처럼 다시 쓸 수 있다.
p이면 q이다.
n이 6의 배수이면 n은 3의 배수이다.
조건과 결론의 위치를 바꾸면 다른 명제가 된다. “n이 3의 배수이면 n은 6의 배수이다”는 거짓이다. 예를 들어 n=9는 3의 배수이지만 6의 배수는 아니기 때문이다. 원문을 p이면 q이다로 정리하는 과정은 단순한 기호 바꾸기가 아니라 논리의 방향을 고정하는 작업이다.
답안에서 사라진 확인 흔적
수업 중 확인한 답안에는 “x가 2보다 크면 x2이 4보다 크다”라는 문장을 읽고 곧바로 계산한 흔적만 있었다. 여백에 조건을 나타내는 p와 결론을 나타내는 q를 따로 표시하지 않았고, 원문을 다시 대조하지도 않았다.
이 문장의 구조는 다음과 같다.
- p: x>2
- q: x2>4
- 정리: p이면 q이다
x=3을 대입해 9>4를 확인하는 것은 특정 예의 계산일 뿐, 명제의 조건과 결론을 구분한 과정은 아니다. 반대로 x=-3은 x>2를 만족하지 않으므로 이 명제를 판단하는 반례로 사용할 수 없다. 먼저 조건 p를 만족하는 대상을 정한 뒤 결론 q가 성립하는지 살펴야 한다.
체크 표시를 실제 풀이에 넣는 방법
조건이 긴 문장으로 제시되면 답안 옆에 다음 네 줄을 남긴다.
- p: a+b=10
- q: ab≤25
- 문장: p이면 q이다
- 원문 대조: “a와 b의 합이 10이면 곱은 25 이하이다”
실제로 a+b=10일 때 b=10-a이므로
ab=a(10-a)=25-(a-5)2≤25
이다. 따라서 이 명제는 참이다. 여기서 마지막 식은 p와 q를 구분한 뒤 결론을 확인하는 계산이다. 계산 결과가 맞더라도 p와 q의 표시가 없다면 문장의 방향을 제대로 읽었는지 확인하기 어렵다.
조건이 바뀌면 같은 구조를 다시 찾는다
와동에서 학교 수업과 귀가 후 학습 시간이 서로 다를 때에는 한 문제를 반복하기보다 문장 형태를 바꾸어 확인할 수 있다. 앞의 식에서 조건을 “a+b=10”에서 “a+b=-10”으로 바꾸면 곱의 범위도 달라진다고 생각하기 쉽지만,
ab=a(-10-a)=-a2-10a=25-(a+5)2≤25
이므로 여전히 ab≤25이다. 학생이 먼저 p: a+b=-10, q: ab≤25를 찾아 “p이면 q이다”로 정리한 뒤, 완전제곱식으로 결론을 확인하는지 살핀다. 부호가 바뀐 조건에서도 p와 q의 역할을 바꾸지 않는지가 독립 적용의 기준이다.
표와 식의 관계에서도 방향을 확인한다
표의 값이 x가 1, 2, 4일 때 y가 12, 6, 3으로 주어졌다고 하자. x와 y의 곱이 각각 12이므로 y=12/x인 반비례 관계이다. 이때 “x가 2배가 되면 y는 2배가 된다”라고 쓰면 틀린다. 실제로 x가 1에서 2로 2배가 될 때 y는 12에서 6으로 절반이 된다.
부호를 바꾼 표에서 x가 -1, -2, -4이고 y가 -12, -6, -3이라면 역시 xy=12이므로 반비례이다. 표의 숫자만 보고 정비례라고 판단하지 말고, p를 “x와 y의 곱이 일정하다”, q를 “x와 y는 반비례한다”로 정리해 p이면 q인지 확인해야 한다.
확인 흔적이 남는지 점검한다
새 문제에서 학생이 계산식만 적는 대신 p와 q를 직접 표시하는지 본다. 특히 부호가 반대인 표나 조건이 바뀐 문장에서도 조건을 먼저 식으로 옮기고, 원문과 다시 대조한 뒤 정비례인지 반비례인지 결정해야 한다. 이 과정을 혼자 수행할 때 비로소 명제의 문장 구조와 식의 관계를 함께 적용한 것으로 볼 수 있다.