와동 고3 수학과외: 벡터의 성분과 크기를 구분하는 풀이
와동에는 안산강서고등학교와 한국디지털미디어고등학교가 있으며, 같은 단원구의 경안고등학교·신길고등학교·선부고등학교는 참고 생활권으로 구분할 수 있다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 짧은 문제라도 풀이의 첫 정의를 정확히 확인하는 연습이 필요하다.
크기와 성분을 같은 기호로 본 첫 줄
학생은 점 A(1,-2), B(5,1)에 대하여 벡터 AB의 성분과 크기를 구하는 문제에서 다음과 같이 시작했다.
AB = √(5²+1²) = √26
이 식은 오답이다. (5,1)은 점 B의 좌표이지 벡터 AB의 성분이 아니다. 벡터는 끝점에서 시작점을 빼야 하므로
⃗AB = B-A = (5-1, 1-(-2)) = (4,3)
이고, 그 크기는 성분을 구한 뒤 별도로 계산해야 한다.
|⃗AB| = √(4²+3²) = 5
학생은 이전에는 마지막 답의 부호만 바꾸며 맞추려 했지만, 이 문제에서는 첫 줄에서 점의 좌표와 벡터의 성분을 혼동했다. 따라서 마지막 계산만 고치는 방식으로는 같은 오류가 반복된다.
틀린 줄을 표시하고 관계부터 다시 확인하기
- 틀린 줄 표시: AB=(5,1)에 밑줄을 긋고 ‘점 B의 좌표를 벡터로 사용’이라고 적는다.
- 조건 확인: 벡터 AB는 ‘A에서 B로 이동’이므로 끝점 좌표에서 시작점 좌표를 뺀다.
- 식 수정: ⃗AB=(5-1,1+2)=(4,3)으로 고친다.
- 대입 검산: 점 A에 벡터 (4,3)을 더하면 (1+4,-2+3)=(5,1)이 되어 B와 일치한다.
- 크기 확인: √(4²+3²)=5이며, 성분 (4,3) 자체와 크기 5를 같은 기호처럼 쓰지 않는다.
이처럼 네모칸에 ‘성분: 순서 있는 두 수’, ‘크기: 음이 아닌 실수’라고 적어 두면 정의역 밖의 값이나 부호 오류도 함께 확인할 수 있다. 특히 벡터의 크기는 항상 0 이상이므로 크기에 음수가 남으면 계산 과정을 다시 살펴야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
다음에는 점을 C(-2,4), D(1,-4)로 바꾸어 같은 방법을 적용했다.
⃗CD = (1-(-2), -4-4) = (3,-8)
따라서
|⃗CD| = √(3²+(-8)²) = √73
학생이 ⃗CD=(1,-4)라고 적었다면 이는 점 D의 좌표를 그대로 쓴 것이므로 틀린 식이다. 또한 크기를 3-8=-5로 계산하는 것도 잘못이다. 성분의 부호는 방향을 나타내지만 크기는 제곱하여 더하므로 음수가 될 수 없다.
마지막으로 C+(3,-8)=(-2+3,4-8)=(1,-4)=D를 확인하면서 방향과 크기를 독립적으로 검산했다. 문제의 숫자가 바뀌어도 ‘끝점-시작점 → 성분 계산 → 크기 계산 → 좌표 대입’의 순서를 유지하는 것이 핵심이다.