선부동고2수학과외

선부동고2수학과외: 수학적 귀납법에서 시작값을 먼저 판별하는 연습

선부고등학교와 경일관광경영고등학교가 있는 선부동에서는 학교와 선부주공9단지·선부주공14단지 사이의 이동 시간에 따라 학습 가능한 시간이 달라질 수 있다. 그러나 수학적 귀납법에서는 공부 시간보다 먼저 확인해야 할 기준이 있다. 명제가 실제로 어디에서 시작하는지, 그리고 첫 단계가 성립하는지를 정확히 읽는 일이다.

n≥5에서 시작하는 명제에 n=1을 대입한 풀이

다음 명제를 살펴보자.

P(n): n≥5인 자연수 n에 대하여 2ⁿ > n²이다.

학생의 답안에는 다음과 같은 흐름이 나타났다.

“n=1이면 2¹>1²이므로 성립한다. 이제 2ⁿ>n²이라 가정하면 … 따라서 모든 자연수 n에서 성립한다.”

여기서 처음 어긋난 부분은 ‘n=1’이다. 주어진 명제의 시작 범위는 n≥5이므로 첫 단계는 n=1이 아니라 n=5에서 확인해야 한다. n=1에서 부등식이 참인지는 이 명제의 출발 조건을 확인한 것이 아니다.

첫 단계와 귀납 가정의 범위를 분리하기

올바른 시작은 다음과 같다.

n=5일 때
2⁵=32, 5²=25이므로 2⁵>5²이다.

이제 어떤 정수 m≥5에 대하여

2^m>m²

이라고 가정한다. 그러면 m≥5이므로

2^m+1=2·2^m>2m².

또한

2m²-(m+1)² =m²-2m-1>0

이다. 실제로 m≥5이면 m²-2m-1=25-10-1=14 이상이므로

2m²>(m+1)²

가 성립한다. 따라서

2^m+1>(m+1)²

이고, 명제는 n=5부터 모든 자연수 n에 대하여 성립한다. 귀납 가정에서도 m의 범위를 m≥5라고 적어야 다음 단계의 부등식이 정당해진다.

답안에서 처음 틀린 기호를 바로 고치는 방법

풀이를 시작할 때 명제 옆에 시작값 n=5라고 표시한다. 학생이 n=1을 적었다면 그 기호에 표시한 뒤, 바로 아래에 다음 중간식을 다시 쓴다.

n=5: 2⁵=32>25=5²

그다음 귀납 가정에는

m≥5이고 2^m>m²이라고 하자.

라고 범위를 함께 적는다. 이렇게 하면 명제의 적용 범위와 계산 과정이 분리되지 않는다.

시작값을 바꾼 문제에서 다시 확인하기

다음 명제를 별도로 제시해 첫 줄부터 점검한다.

Q(n): n≥6인 자연수 n에 대하여 3ⁿ>n³이다.

이때 n=6에서

3⁶=729>216=6³

을 먼저 확인해야 한다. 이후 m≥6, 3^m>m³이라 두면

3^m+1>3m³

이고, m≥6에서는 3m³>(m+1)³이므로 다음 단계가 이어진다. 이 문제에서 n=1이나 n=5를 확인하고 넘어간다면 계산 결과와 관계없이 시작 범위를 놓친 것이다. 시작값, 귀납 가정의 범위, 다음 단계의 중간식을 차례로 혼자 적는지 확인한다.