성분과 크기를 구분하는 벡터 풀이
답안 여백에 벡터 \((a,b)\)의 크기를 \(a+b\)라고 적은 학생이 있었다. 이 식은 벡터의 두 성분을 더한 값일 뿐, 일반적인 벡터의 크기가 아니므로 오답이다.
크기와 성분은 서로 다른 값이다
벡터 \(\vec{v}=(a,b)\)에서 \(a\)와 \(b\)는 각각 \(x\)방향과 \(y\)방향의 성분이다. 원점에서 점 \((a,b)\)까지의 거리가 벡터의 크기이므로 피타고라스 정리에 따라
\(|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2}\)
가 된다. 따라서 \((3,4)\)의 크기는 \(3+4=7\)이 아니라
\[ |\vec{v}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \]
이다. 성분의 합 \(a+b\)는 별도의 계산값이며, 크기와 같아지는 것은 일반적인 성질이 아니다. 예를 들어 \((2,-2)\)에서는 \(a+b=0\)이지만 크기는 \(\sqrt{8}=2\sqrt2\)이다.
답안에서 틀린 줄을 찾아 수정하기
\(\vec{u}=(-2,5)\)일 때 \(|\vec{u}|=-2+5=3\)
학생은 첫 줄에서 크기 기호 안의 벡터를 성분의 합으로 바꾸었다. 이 줄에 밑줄을 긋고, 크기는 방향 성분의 단순한 합이 아니라 원점으로부터의 거리라는 변수 관계를 다시 확인했다.
정확한 식은 다음과 같다.
\[ |\vec{u}|=\sqrt{(-2)^2+5^2} =\sqrt{4+25} =\sqrt{29} \]
음의 \(x\)성분은 방향을 나타내지만 크기를 계산할 때 제곱되므로 양수로 반영된다. \(\sqrt{29}\)을 다시 제곱하면 \(29\)가 되어 원래 성분의 제곱합과 일치하는지도 확인했다.
내적을 사용할 때와 구분하기
두 벡터 \(\vec{u}=(u_1,u_2)\), \(\vec{v}=(v_1,v_2)\)의 내적은
\[ \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2 \]
이고, 크기는
\[ |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2} \]
이다. 예를 들어 \(\vec{u}=(1,2)\), \(\vec{v}=(3,-1)\)이면 내적은 \(3-2=1\)이지만, \(|\vec{u}|=\sqrt5\)이다. 내적의 결과를 벡터의 크기로 바꾸어 쓰지 않도록 기호와 정의를 먼저 확인해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 \(\vec{w}=(-6,-8)\)의 크기와 단위벡터를 구했다.
\[ |\vec{w}|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2} =\sqrt{36+64}=10 \]
따라서 \(\vec{w}\)와 같은 방향의 단위벡터는
\[ \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} =\left(-\frac35,-\frac45\right) \]
이다. 두 성분의 합은 \(-14\)이지만 크기는 \(10\)이므로, 부호가 바뀐 새 조건에서도 성분의 합과 크기를 분리하는 절차가 유지된다.
선부동에서 선부고등학교와 경일관광경영고등학교, 그리고 같은 단원구의 경안고등학교·안산강서고등학교·신길고등학교를 오가는 학생들은 통학 거리와 생활 리듬이 서로 다를 수 있다. 선부주공9단지나 선부주공14단지처럼 주거지에서 공부 시간을 확보하는 방식도 달라지므로, 짧은 풀이 시간에는 먼저 크기 기호와 성분의 정의를 적은 뒤 계산하는 습관이 효과적이다.