고잔동고2수학과외에서 확인한 시그마와 부분합의 연결
고잔고등학교·경안고등학교·양지고등학교·단원고등학교가 있는 고잔동 생활권에서는 귀가 후 학교 프린트의 풀이를 다시 확인하는 시간이 중요하다. 이번 점검에서는 숫자 계산보다 시그마 안의 항이 등차형인지 등비형인지 판별하는 순간에 풀이가 멈췄다.
등비형 항에 등차수열 합 공식을 적용한 장면
다음 합을 계산한다고 하자.
S=\sum_{k=1}^{5}3\cdot2^{k-1}
항을 펼치면
S=3+6+12+24+48
이고, 각 항의 비가 일정하므로 등비수열이다. 첫째항은 3, 공비는 2, 항의 개수는 5이다.
그런데 풀이 여백에는 학생이 등차수열 공식처럼
S=\frac{5}{2}(3+48)=\frac{255}{2}
라고 적었다. 이 식은 첫째항과 마지막 항의 평균에 항의 개수를 곱한 등차수열 공식이므로, 항 사이의 차가 일정할 때만 사용할 수 있다. 실제 합은
S=3\frac{2^5-1}{2-1}=93
이다. 3, 6, 12, 24, 48은 차가 일정하지 않고 공비가 2라는 점을 먼저 읽어야 한다.
시그마를 보자마자 항의 변화부터 표시하기
변형 문제를 풀 때는 공식을 바로 고르는 대신, 아래 세 줄을 답안에 남긴다.
- 첫째항: k=1일 때 3·20=3
- 항의 개수: 5-1+1=5
- 변화: 각 항의 비가 2이므로 등비수열
이후에는 등비수열의 합을 적용한다.
\sum_{k=1}^{5}3\cdot2^{k-1} =3\frac{1-2^5}{1-2}=93
같은 위치에서 숫자만 바꾼 미니문제도 바로 이어서 계산한다.
\sum_{k=1}^{5}4\cdot2^{k-1} =4+8+16+32+64 =4\frac{2^5-1}{2-1}=124
여기서 바뀐 것은 첫째항 3이 4가 된 부분뿐이다. 항의 개수와 공비는 그대로이므로 등비수열이라는 판단도 그대로 유지된다.
계수와 부호가 바뀌어도 부분합 연결하기
다음 문제에서는 계수와 부호를 함께 바꾼다.
T=\sum_{k=1}^{4}-2\cdot3^{k-1}
첫째항은 -2, 공비는 3, 항의 개수는 4이므로
T=-2\frac{3^4-1}{3-1} =-2\cdot40=-80
이다. -2를 공차로 읽거나, 등차수열 공식에 첫째항과 마지막 항만 넣으면 안 된다. 새로운 조건에서도 먼저 항의 개수와 공비를 적고, 바뀐 계수와 부호만 합 공식에 반영했는지를 확인한다.
이처럼 기본형에서는 부분합을 계산해도 계수·부호·시그마 표현이 바뀌면 다시 처음 방식으로 돌아갔다. 따라서 답만 맞히는지보다 항의 개수 → 첫째항 → 공차 또는 공비 → 합 공식의 연결을 혼자 재현하는지를 풀이 기록에서 살핀다.