고잔동고1수학과외, 전체집합이 바뀌면 여집합 기준부터 다시 세우기
고잔동의 고잔고등학교, 경안고등학교, 양지고등학교, 단원고등학교에서 학교 과제와 시험 준비가 겹치는 시기에는 집합 문제의 계산보다 조건을 다시 읽는 순서가 더 중요해진다. 특히 여집합은 ‘무엇을 제외하는가’가 아니라 ‘어떤 전체집합 안에서 제외하는가’에 따라 달라진다.
이전 문제의 U를 그대로 가져온 오답
예를 들어 전체집합이 U={1,2,3,4,5,6,7,8}이고 A={2,4,6,8}일 때는
Ac={1,3,5,7}
이다. 그런데 새 문제에서 전체집합이 V={1,2,3,4,5,6}로 바뀌고 같은 조건에 해당하는 집합이 B={2,4,6}이 되었다고 하자. 이때 학생은 이전 풀이의 여집합을 떠올려 Bc={1,3,5,7}이라고 적었다.
이 식은 새 전체집합 V 안에서의 여집합이 아니므로 잘못된 답이다. 7은 V의 원소가 아니기 때문이다. 정확한 계산은
Bc=V-B={1,2,3,4,5,6}-{2,4,6}={1,3,5}
이다.
여집합의 기호보다 먼저 확인할 범위
여집합은 집합 하나만 보고 정할 수 없다. 반드시 쌍으로 기록해야 한다.
Bc는 V를 기준으로 한 B의 여집합
따라서 문제를 새로 펼쳤을 때 학생이 바로 원소를 나열하기보다, 답안 첫 줄에 V={1,2,3,4,5,6}을 적는지 살핀다. 그다음 B의 원소 2, 4, 6을 V에서 지우고 남은 1, 3, 5를 적어야 한다. 여집합 기호만 보고 이전 문제의 결과를 옮기는 행동은 전체집합이 달라졌다는 조건을 반영하지 못한 상태를 보여준다.
오답표에 빠진 한 단계 다시 넣기
학생의 오답표에는 ‘여집합 계산 오류’만 남아 있었고, 새 문제에서 전체집합을 먼저 적는다는 표시가 없었다. 이 경우 계산 결과만 고치게 하지 않고 다음과 같이 풀이의 시작 부분을 고정한다.
- 전체집합을 문제의 기호 그대로 적는다.
- 구하려는 집합의 원소를 그 전체집합 안에서 표시한다.
- 남은 원소만 여집합으로 옮긴다.
예를 들어 W={a,b,c,d,e}, C={a,c}라면 먼저 W를 적고, W에서 a와 c를 제외하여 Cc={b,d,e}를 얻는다. 학생이 이 과정을 별도의 도움 없이 시작했다면, 정답을 맞혔는지만 보지 않고 여집합의 기준을 먼저 세웠는지 기록한다.
정답보다 풀이의 출발점을 말하게 하기
고잔마을이나 고잔주공7단지에서 귀가한 뒤 학교 프린트의 새 문항을 풀 때에는 “답은 무엇인가?”보다 “어떤 전체집합을 기준으로 했는가?”를 먼저 말하게 한다. 학생이 “전체집합 V에서 B의 원소를 제외했습니다”라고 설명한 뒤 {1,3,5}를 제시한다면, 계산 근거와 답이 연결된 것으로 본다.
조건을 바꾼 확인 문제
연습한 문제를 그대로 반복하지 않고 다음처럼 범위를 바꾼다.
S={0,1,2,3,4,5,6}, D={0,2,4,6}일 때 D의 여집합을 구하여라.
이 문제에서 학생이 먼저 S={0,1,2,3,4,5,6}을 적고, S에서 0, 2, 4, 6을 제외하여 Dc={1,3,5}라고 풀이하는지 확인한다. 정답만 말하고 기준을 설명하지 못한다면 이전 문제의 결과를 기억한 것인지 새 조건에 적용한 것인지 구분하기 어렵다.
마지막으로 중2 선행 맛보기 문제에서 여집합을 계산하는 데 필요한 원소 나열과 제외의 의미만 짧게 복구한 뒤, 현재 중1 집합 문제를 다시 제시한다. 학생이 전체집합을 먼저 적고 계산 근거를 답보다 앞서 설명하며 혼자 풀이를 시작하는지가 기준이다.