고잔동 고3수학과외: 이동 조건을 식과 그래프로 끝까지 연결하기
고잔동에는 고잔고등학교, 경안고등학교, 양지고등학교, 단원고등학교가 있으며, 같은 단원구의 안산강서고등학교는 별도 참고 학교로 구분된다. 고잔마을과 고잔주공7단지 생활권에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 병행하는 고3 학생에게는 계산보다 문제의 조건을 스스로 분리하는 연습이 중요하다.
한 방향만 옮긴 오답
학생은 힌트 없이 다음 문제를 풀었다.
함수 f(x)=x²-2x-3의 그래프를 오른쪽으로 1, 위로 2만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
오답: g(x)=f(x-1)=x²-4x
오른쪽 이동은 x를 x-1로 바꾸는 방식으로 반영했지만, 위로 2만큼 이동하는 조건을 빠뜨렸다. 따라서 이 식의 꼭짓점은 (2,-4)이고, 원래 함수의 꼭짓점 (1,-4)을 오른쪽으로 1, 위로 2 옮긴 정답 꼭짓점 (2,-2)와 맞지 않는다.
식·꼭짓점·그래프를 함께 대조한 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 이동 방향을 변수 관계로 다시 적었다.
- 오른쪽 1: x 대신 x-1
- 위쪽 2: 함수값 전체에 +2
- 따라서 g(x)=f(x-1)+2
다시 계산하면
g(x)=(x-1)²-2(x-1)-3+2=x²-4x+4=(x-2)²
오답표 마지막 칸에는 다음처럼 체크했다.
- □ 오른쪽 이동 반영
- □ 위쪽 이동 반영
- □ 꼭짓점 관계 일치
- □ 표와 식이 같은 관계를 나타냄
정답의 꼭짓점은 (2,0)이다. 실제로 g(2)=0이고, 원래 함수의 꼭짓점 (1,-4)에 이동 벡터 (1,2)를 더하면 (2,-2)이므로 잠시 혼동이 생길 수 있다. 원래 식을 다시 확인하면 f(x)=x²-2x-3=(x-1)²-4이므로 이동 후 꼭짓점은 (2,-2)이고, 전개식도 f(x-1)+2=(x-2)²-2=x²-4x+2가 된다. 학생은 상수항 계산에서 다시 오류를 냈으며, -3+2만 따로 처리하지 않고 완전제곱식으로 검산해 최종식을 수정했다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 h(x)=x²+4x-1의 그래프를 왼쪽으로 2, 아래로 3만큼 이동시켰다. 방향이 바뀌었으므로
k(x)=h(x+2)-3
이고,
k(x)=(x+2)²+4(x+2)-1-3=x²+8x+8=(x+4)²-8
원래 꼭짓점은 (-2,-5), 이동 후 꼭짓점은 (-4,-8)이다. 최종식의 꼭짓점도 (-4,-8)이므로 두 축의 이동과 식의 관계가 모두 일치한다.