노원구고2수학과외

노원구고2수학과외: 로그법칙을 섞어 쓸 때 밑과 지수식 변환을 끝까지 확인하기

노원고등학교, 서라벌고등학교, 대진여자고등학교 등 노원구의 고등학교에서는 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 시기에 로그 변형식이 자주 풀이 여백에 남는다. 공릉동·상계동·중계동처럼 귀가 시간이 다른 생활권에서는 짧은 풀이에서도 각 로그의 밑을 확인하고, 마지막에 지수식으로 되돌리는 과정이 필요하다.

밑이 다른 로그를 한 덩어리로 묶은 순간

다음 식을 계산한다고 하자.

log₂3 + log₄5

풀이 여백에 다음과 같이 적혀 있다면 첫 번째 기호에서 오류가 시작된다.

log₂3 + log₄5 = log₂15

로그의 곱셈 법칙은 밑이 같을 때만 적용된다.

log_aM + log_aN = log_a(MN)

그런데 log₄5의 밑은 4이므로 먼저 밑을 통일해야 한다. 4=2²를 이용하면

log₄5 = log₂5 / log₂4 = (1/2)log₂5

따라서 정확한 중간식은

log₂3 + log₄5
= log₂3 + (1/2)log₂5

이다. 두 항을 하나의 로그로 합칠 수 없으며, 주어진 정보만으로 log₂3과 log₂5를 더 간단한 정수값으로 만들 수도 없다. 밑이 다르다는 조건을 지운 것이 오답의 원인이다.

로그법칙 뒤에는 반드시 지수식으로 되돌린다

변형 과정에서 다음 식을 보자.

2log₃x - log₃(x-2) = 1

밑과 진수의 조건은 먼저

x>0, x-2>0

이므로 최종적으로 x>2여야 한다. 로그의 계수와 뺄셈 법칙을 적용하면

log₃x² - log₃(x-2)
= log₃(x²/(x-2)) = 1

이제 로그를 없애 지수식으로 바꾼다.

x²/(x-2)=3

따라서

x²=3x-6
x²-3x+6=0

판별식은 9-24=-15이므로 실수해가 없다. 이때 조건을 확인하지 않은 채 식을 변형했다는 이유만으로 어떤 값을 답으로 적을 수 없다. 로그식의 실수해가 존재하지 않는다는 결론까지 지수식 변환과 함께 확인해야 한다.

처음 어긋난 기호 바로 아래에 중간식을 남기는 훈련

풀이 중 밑이 다른 로그를 합치려는 흔적이 보이면 해당 등호에 표시하고, 그 줄을 지운 뒤 다음 세 줄을 다시 쓴다.

log₂3 + log₄5

→ log₂3 + (1/2)log₂5

→ 밑이 같아진 뒤에만 로그법칙 적용 여부 판단

또한 로그식에서 지수식으로 넘어갈 때는 log_aM=b ⇔ M=a^b를 한 줄로 직접 적는다. 이 표기를 생략하면 밑과 진수를 뒤바꾸는 오류가 쉽게 생긴다.

밑을 8로 바꾸어도 같은 판단이 유지되는가

다음 식으로 확인한다.

log₈9 + log₂5

8=2³이므로

log₈9 = log₂9 / log₂8 = (1/3)log₂9

따라서

log₈9 + log₂5
= (1/3)log₂9 + log₂5

이다. 밑을 통일하지 않은 채 log₂45로 합치면 안 된다. 새로운 밑과 계수가 등장해도 먼저 밑변환을 하고, 밑이 일치한 항만 로그법칙으로 묶는 순서가 유지되는지 확인한다.