노원구 고3 수학과외에서 확인한 로그미분의 출발 조건
노원구의 노원고등학교, 서라벌고등학교, 대진여자고등학교 등에서 시험 범위와 귀가 시간을 함께 조정하다 보면, 계산량보다 새로운 함수의 조건을 혼자 해석하는 연습이 더 중요해지는 시점이 있다. 이번 학생은 경계값만 달라진 문제에서 직전 풀이의 부호를 그대로 옮기는 습관이 나타났다.
밑의 조건을 먼저 확인해야 하는 이유
다음 함수를 미분한다고 하자.
y=(2x-1)x
실수 범위에서 로그를 취하려면 2x-1>0, 즉 x>1/2이어야 한다. 양변에 로그를 취하면
ln y=x ln(2x-1)
따라서 곱의 미분법을 적용하여
y'/y=ln(2x-1)+x·2/(2x-1)
이고, 최종 결과는
y'=(2x-1)x [ln(2x-1)+2x/(2x-1)]
이다. 밑의 미분값이 2이므로 두 번째 항의 분자는 2x가 된다.
학생이 재사용한 오답식
ln y=x ln(2x-1)
y'/y=ln(2x-1)-2x/(2x-1)
이 식은 오답이다. 학생은 직전 문제에서 밑이 감소하는 함수였을 때의 부호를 그대로 사용했지만, 여기서는 (2x-1)'=2>0이다. 따라서 로그함수의 미분 결과는 음수가 아니라 2/(2x-1)이며, 곱의 두 번째 항도 양수가 되어야 한다.
틀린 줄부터 역검산하기
- 틀린 줄 표시: y'/y=ln(2x-1)-2x/(2x-1)에 밑의 변화율 부호를 표시한다.
- 조건 확인: 2x-1>0인지, (2x-1)'=2인지 체크박스에 기록한다.
- 식 수정: y'/y=ln(2x-1)+2x/(2x-1)로 고친다.
- 대입 검산: x=1이면 y=1이고, 수정된 식은 y'=2이다. 직접 미분한 값과 일치하는지 확인한다.
- 역계산: 수정된 y'에 y=(2x-1)x를 나누어 y'/y를 복원하고 로그미분식과 같은지 비교한다.
밑이 바뀐 새 함수로 독립 검증
이번에는 힌트 없이
y=(x+1)x
를 풀었다. 먼저 실수 조건은 x+1>0, 즉 x>-1이다.
ln y=x ln(x+1)
이므로
y'/y=ln(x+1)+x/(x+1)
따라서
y'=(x+1)x[ln(x+1)+x/(x+1)]
이다. x=0을 대입하면 y=1, y'=0이므로 결과식도 0을 주어 출발식과 함께 검산된다. 밑의 식과 경계값이 달라져도 먼저 정의역과 밑의 변화율을 확인하면 이전 문제의 부호를 무작정 복사하지 않게 된다.