하계동고2수학과외

하계동고2수학과외에서 확인한 로그함수의 감소 방향

하계동의 고등학교별 시험 범위와 수행평가 일정을 함께 정리하다 보면, 로그함수 단원에서 풀이 시간이 길어지는 지점이 비슷하게 나타난다. 특히 밑이 0과 1 사이일 때 그래프의 방향을 확인하지 않고 계산부터 진행하는 경우다.

y=log_1/2x의 그래프를 반대로 그린 계산 줄

다음 부등식을 풀어 보자.

log_1/2(x-1) > -2

먼저 진수 조건에서 x-1>0이므로 x>1이다. 그런데 풀이 과정에 다음과 같은 식이 적혀 있었다.

“밑 1/2은 양수이고 1보다 크므로 증가함수이다. 따라서 x-1>(1/2)^-2=4, x>5.”

이 줄에는 밑의 범위를 잘못 읽은 오류가 있다. 1/2은 0보다 크지만 1보다 작으므로 y=log_1/2x는 감소함수다. 실제로 x가 커질수록 로그값은 작아지고, 그래프는 (1, 0)을 지나 오른쪽 아래로 내려간다.

따라서 부등호 방향을 바꾸어

log_1/2(x-1) > log_1/24

에서 x-1<4를 얻는다. 진수 조건 x-1>0과 함께 확인하면

1<x<5

가 정답이다. 진수 조건만으로 x>1을 적고 끝내거나, 증가함수로 처리해 x>5라고 하는 것은 그래프의 감소 방향과 맞지 않는다.

계산 전에 네모 안에 넣을 두 가지

로그 부등식의 첫 줄에는 다음 두 조건을 직접 적는다.

□ 밑: 0<1/2<1 → 감소함수 → 부등호 방향 반대

□ 진수: x-1>0

이 두 칸을 확인한 뒤에만 밑의 거듭제곱과 비교한다. 그래프를 실제로 그릴 때도 (1, 0)을 표시하고, 밑이 1보다 작은 경우 오른쪽으로 갈수록 아래로 내려가는지 확인한다. 이 과정을 거치면 ‘양의 밑’이라는 사실만 보고 증가함수로 판단하는 오류를 계산 줄에서 잡을 수 있다.

밑만 바뀐 문제에서 방향을 다시 판단하기

조건 하나를 바꾸어 다음 문제를 제시한다.

log₂(x-1) > 2

이번에는 밑이 2이므로 2>1, 증가함수다. 진수 조건 x>1을 확인한 뒤

x-1>2²=4

가 되어 x>5이다.

앞 문제의 답을 그대로 옮기는 것이 아니라, 밑이 1/2에서 2로 바뀐 부분만 다시 판정해야 한다. 풀이 첫머리에 ‘감소’ 또는 ‘증가’를 적고, 그 판단이 실제 그래프 방향과 일치하는지 확인했을 때 새로운 조건에서도 같은 실수를 반복하지 않는지 살필 수 있다.

하계5단지아파트와 하계극동아파트 등 생활권에서 학교까지의 평일 이동 시간을 고려해 짧은 복습을 배치할 때도, 로그 부등식 한 문제를 풀고 두 네모의 통과 여부와 그래프 방향을 함께 기록하면 계산 결과만 남기는 것보다 판단 과정을 분명히 확인할 수 있다.