하계동 고3 수학과외에서 확인한 합성함수 미분의 한 단계
하계동의 혜성여자고등학교, 대진고등학교, 경기기계공업고등학교 학생은 학교별 시험 범위와 수행평가 일정, 하계5단지아파트·하계극동아파트·하계장미아파트 등 생활권의 평일 귀가 시간을 함께 고려해 복습 시간을 정할 수 있다. 같은 노원구의 청원고등학교와 서라벌고등학교는 참고 학교로 구분해야 하며 하계동 소재 학교로 단정하지 않는다.
결론이 아니라 틀린 기호가 생긴 줄 찾기
학생은 다음 미분 문제를 맞힌 해설을 보고 결과만 옮겨 적었다.
문제: \(f(x)=\cos(3x)\)일 때 \(f'(x)\)를 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었다.
\[ \frac{d}{dx}\cos(3x)=-\sin(3x) \]
이 식은 오답이다. 바깥 함수 \(\cos u\)의 미분 결과는 \(-\sin u\)이고, 안쪽 함수 \(u=3x\)의 미분값은 \(3\)이다. 따라서 연쇄법칙에 따라
\[ \frac{d}{dx}\cos(3x) =-\sin(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x) =-\sin(3x)\cdot3 =-3\sin(3x) \]
가 되어야 한다. 학생은 부호는 유지했지만 안쪽 각 \(3x\)가 변하는 비율 \(3\)을 빠뜨렸다.
첫 조건과 식의 관계를 표시하는 복기
복기할 때는 해설의 마지막 줄을 베끼지 않고, 답안에서 틀린 줄에 밑줄을 긋는다.
- 밑줄: \(\cos(\underline{3x})\)
- 변수 관계: \(u=3x\), \(\dfrac{du}{dx}=3\)
- 표로 확인: 바깥 함수 \(y=\cos u\)는 \(\dfrac{dy}{du}=-\sin u\), 안쪽 함수 \(u=3x\)는 \(\dfrac{du}{dx}=3\)
- 수정: \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}=-\sin(3x)\cdot3\)
표와 식이 같은 관계를 나타내는지 비교하면 \(-\sin(3x)\)만 적은 식에는 \(\dfrac{du}{dx}=3\)이 빠져 있음을 확인할 수 있다. 수정한 뒤 \(x=0\)을 대입하면 원래 함수의 변화율은 \(-3\sin0=0\)이고, \(x=\frac{\pi}{6}\)에서는 \(-3\sin\frac{\pi}{2}=-3\)이다. 안쪽 각의 변화율을 빼면 이 값이 \(-1\)로 바뀌므로 두 결과가 다르다는 것도 검산한다.
계수를 바꾼 독립 검증
같은 문제를 반복하지 않고 계수와 부호를 바꾸어 다음 식을 다시 풀었다.
검증 문제: \(g(x)=\cos(-4x+1)\)일 때 \(g'(x)\)를 구하여라.
\[ u=-4x+1,\qquad \frac{du}{dx}=-4 \]
이므로
\[ g'(x)=-\sin u\cdot\frac{du}{dx} =-\sin(-4x+1)\cdot(-4) =4\sin(-4x+1) \]
이다. \(x=\frac14\)를 대입하면 안쪽 각이 \(0\)이 되어 \(g'\left(\frac14\right)=4\sin0=0\)이다. 이번에는 안쪽 식의 계수와 음수 부호를 먼저 표시한 뒤 바깥 미분과 곱해, 결론이 아니라 각의 구조와 변화율의 관계를 기준으로 답을 확인했다.