하계동고1수학과외, a+bi에서 음의 허수부분 읽기
하계동의 고등학교 프린트에서 복소수의 기본 표현을 다룰 때 자주 생기는 오류는 허수부분의 부호를 끝까지 유지하지 못하는 것이다. 특히 a+bi에서 i 앞의 계수만 떼어 절댓값처럼 읽으면 실제 답이 달라진다.
4-7i를 4+7i로 바꿔 적은 장면
문제에서 복소수 z=4-7i의 실수부분과 허수부분을 구하자, 학생은 여백에 ‘i 앞 숫자는 7’이라고 적은 뒤 답을 실수부분 4, 허수부분 7로 작성했다. 이 답은 i의 계수에서 숫자 7만 읽고 부호를 제외한 결과다.
4-7i=4+(-7)i로 다시 쓰면 구조가 분명해진다. a+bi와 비교할 때 a=4, b=-7이므로 실수부분은 4, 허수부분은 -7이다. 여기서 허수부분은 ‘i가 붙은 항’이 아니라 그 항의 계수 전체를 뜻한다.
부호를 포함해 계수를 분리하는 풀이
수정할 때는 i를 지우고 숫자만 보는 대신, 먼저 허수항을 괄호로 묶는다.
z=4-7i=4+(-7)i
실수부분: 4
허수부분: -7
같은 방식으로 w=-3+5i에서는 a=-3, b=5이고, v=-8-2i에서는 a=-8, b=-2이다. 허수부분을 적기 전에는 ‘i 앞 계수’를 부호까지 한 덩어리로 옮겨 적어야 한다.
부호 확인 흔적을 풀이 안에 남기기
학교 시험 범위가 복소수의 뜻과 a+bi 표현까지라면, 긴 계산보다 다음과 같은 짧은 표시가 효과적이다.
- 허수항을 먼저 찾는다.
- i 앞 계수를 부호와 함께 적는다.
- a+bi의 b와 비교한다.
예를 들어 6-11i를 읽을 때 여백에 6+(-11)i라고 적으면 허수부분을 11로 바꾸는 오류를 막을 수 있다. 이 표시는 단순 암기가 아니라 해당 수가 어떤 계수 관계로 a+bi에 맞는지 확인하는 과정이다.
귀가 후 짧은 풀이에서도 확인되는가
혜성여자고등학교, 대진고등학교, 경기기계공업고등학교의 각 시험 범위와 수행평가 일정이 겹치는 주간에는 하계5단지나 하계극동아파트 등 생활권에서 귀가한 뒤 긴 문제 풀이 시간을 확보하기 어려울 수 있다. 이때 복소수 표현 문제를 풀며 한 문항마다 허수항을 부호 포함 형태로 한 번만 재작성하는 방식으로 확인할 수 있다.
같은 문제를 곧바로 반복하지 않고, 불필요한 수를 하나 포함한 새 문항 z=9-12i의 실수부분과 허수부분을 묻는다. 학생이 9+(-12)i를 스스로 만든 뒤 실수부분 9, 허수부분 -12라고 답하면 수치가 바뀌어도 수정된 행동이 유지된 것이다. 반대로 12라고 적으면 숫자와 부호를 분리해서 읽는 습관이 아직 남아 있는 것으로 판단한다.
표현이 달라져도 같은 판단을 유지하기
복소수 p=-5-6i를 a+bi 꼴로 나타내라는 문항에서도 -5+(-6)i로 바꾸어 읽는다. 따라서 a=-5, b=-6이다. 숫자의 크기나 항의 순서가 달라져도 허수부분을 양수로 고치지 않고, i 앞 계수의 부호까지 유지하는지가 확인 기준이다.