중계동 고2수학과외에서 확인하는 로그함수의 밑과 증가·감소
중계동의 대진여자고등학교, 상명고등학교, 재현고등학교, 불암고등학교, 영신여자고등학교 등에서 고2 수학을 공부할 때 로그함수의 그래프 문제는 계산보다 먼저 조건을 읽어야 한다. 중계시영1단지와 중계주공단지 생활권에서 통학 후 과제와 시험 준비를 이어가다 보면, 풀이를 빨리 끝내려는 과정에서 밑의 범위를 빠뜨리기 쉽다.
오답표에 그려진 증가함수
풀이 점검 중 다음 그래프가 발견되었다.
학생의 오답: \(y=\log_{\frac12}x\)는 밑이 양수이므로 증가함수이다.
여기서 빠진 것은 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 판별하는 과정이다. 로그함수 \(y=\log_a x\)는 \(a>0,\ a\ne1\)일 때 정의되며,
- \(a>1\)이면 증가함수
- \(0<a<1\)이면 감소함수
이다. 따라서 \(\frac12\)는 \(0<\frac12<1\)을 만족하므로 \(y=\log_{\frac12}x\)는 감소함수이다. 정의역은 \(x>0\), 치역은 모든 실수이다.
기호 하나를 바꾸어 읽는 풀이
| 잘못된 줄 | 수정한 줄 |
|---|---|
| \(y=\log_{\frac12}x\): 증가함수 | \(y=\log_{\frac12}x\): 감소함수 |
수정할 때 문장만 외우지 않고 식 위에 먼저 \(0<\frac12<1\)을 적는다. 예를 들어 \(x>0\)에서 \(x\)가 커질 때 \(\log_{\frac12}x\)의 값은 작아진다. 실제로
\[ \log_{\frac12}1=0,\qquad \log_{\frac12}2=-1,\qquad \log_{\frac12}4=-2 \]
이므로 입력값이 \(1,2,4\)로 증가할 때 함수값은 \(0,-1,-2\)로 감소한다. 그래프는 \((1,0)\)을 지나고 \(x=0\)을 정의역에 포함하지 않으며, \(x\)축 아래로 내려가는 모양이 된다.
밑만 바꾼 확인 문제
다음 조건을 새로 제시한다.
\[ y=\log_2 x \]
앞의 식에서 바뀐 부분은 밑뿐이다. 이번에는 \(2>1\)이므로 증가함수이다. 정의역은 여전히 \(x>0\), 치역은 여전히 실수 전체이며, \((1,0)\)을 지난다. 학생이 밑의 변화만 보고 증가·감소를 조정하고, 변하지 않은 정의역과 치역을 그대로 유지하는지 확인한다.
반대로 밑은 그대로 두고 정의역 조건을 묻는다면 \(y=\log_{\frac12}(x-3)\)에서 반드시 \(x-3>0\), 즉 \(x>3\)을 먼저 적어야 한다. 밑의 조건과 진수의 조건을 각각 확인해야 그래프의 증가·감소와 성립 범위를 함께 정확히 판단할 수 있다.